Сезонный показатель для бизнеса

РЕЗЮМЕ

В этой статье рассматривается проблема получения мультипликативного индекса для сезонного прогнозирования продаж с небольшой набор исторических данных (как это обычно в бизнес-приложениях) и при наличии тренда. Показано, что стандартный метод для создания сезонного индекса (от центрированные скользящие средние) содержит систематическую ошибку. Эта ошибка передается по прогнозам, которые используют индекс сезонных и вызывает больше, чем необходимые запасы безопасности и другие последствия. В работе представлены два альтернативных последовательные методы для оценки сезонного индекса в присутствии тенденция, по одному для мультипликативных (нелинейный) тенденции и один для аддитивных (линейных) направления. Эти методы могут быть легко запустить программу электронных таблиц или по статистического программного обеспечения. Нелинейный метод предлагается как альтернатива стандартным методом во многих случаях.

По предмету: прогнозирование.

ВВЕДЕНИЕ

Сезонность часто является важным элементом в прогнозировании основных процессах принятия решений в отношении производства, управления запасами, персоналом, маркетинг и финансы. Ошибки при измерении сезонных колебаний перевести на ошибки в прогнозах и решения, принятые на основе этих прогнозов. Гарднер (1986) отметил, что лишь один пример, рассмотреть вопрос о последствиях прогноз ошибки в распределении управления запасами. В зависимости от целей обслуживания клиентов, безопасность акции, как правило, установленных в диапазоне от двух до трех раз среднее абсолютное отклонение (MAD) прогноза ошибок. Если мы думаем о MAD в долларовом выражении, на каждый доллар, уменьшается, запасах автоматически уменьшается на 2:58 долларов. То есть, это занимает меньше страхового запаса, чтобы сохранить тот же уровень обслуживания клиентов. (Стр. 106)

Гарднер (1990) отметил, что "тщательный отбор моделей прогнозирования для системы инвентаризации может увеличить заказчика услуг, предоставляемых инвестиций в основной капитал" (стр. 490) и пришел к выводу, что "различия в точности прогноза могут быть значительными, когда измеряется смысл Менеджеры "(стр. 498).

Wemmerlbv (1989) изучали влияние прогноз ошибок на много-процедуры калибровки и отметил, что

Существование прогноз ошибки радикально влияет на поведение много-процедуры калибровки .... Например, прогноз ошибок, не только приведет к имеющих дефицита, они также вызывают большие запасы. (Стр. 37)

Связанные замечания могут быть найдены в Файлдс и Борода (1992) и Ли, Адам, и Эберт (1987). Makridakis и Колесник (1989) отметил, что "более высокой стоимости и сложности должны быть сбалансированы с более высокой точностью, а также значение даже незначительное увеличение точность прогнозов, поскольку в определенных ситуациях они могут стоить очень много" (стр. 299 ). Махмуд (1987) отметил, что "для некоторых ситуациях решения... Изменения всего лишь на 5% может означать катастрофу" (стр. 507). Он также призвал, что выбор метода прогнозирования основывается на анализе "издержки, связанные с неточным прогнозом в долларовом выражении" (стр. 513).

В бизнес-приложений, он часто используется не более, чем несколько лет исторических данных, и есть предпочтения относительно удобный вычислительных методов и относительно простых моделей. Банн и Vassilopoulos (1993) говорится о "обычно короткий ряд данных, используемых на практике" (стр. 517). Армстронг (1984) сделан вывод, что

для практикующего последствия очевидны: сравнительно простые методы экстраполяции .... Аналитик должен внести коррективы на выбросы торговых дней и сезонности, а затем использовать относительно простой способ, таких как экспоненциального сглаживания для оценки тенденций и сезонных факторов. (Стр. 58)

Филдс и Борода (1992, стр. 15) сделал аналогичное замечание в отношении своих собственных обзоров методов прогнозирования, а также результаты M-конкурса (см. Makridakis, Андерсон, Carbone, Файлдс, Hibon, Левандовски, Ньютон, Парзена,

Индекс сезонных изменений

В данной статье утверждается, что некоторые дополнительные улучшения в точности прогноза может быть получен по очень низкой цене за счет повышения задания начальных сезонного индекса. Интересно, что Гарднер и Dannenbring (1980) отметил, что "по нашему мнению, экспоненциального сглаживания с сезонным спросом заслуживает отдельного исследования усилий из-за проблем, связанных с сезонным разделения компонентов и тенденций во многих временных рядов.." (Стр. 371). Дополнительным преимуществом более точные сезонного индекса возникает тогда, когда экспоненциального сглаживания модели используются. Махмуд (1987) отметил, что "методы сглаживания сильно зависит от первоначальной оценки прогнозирования" (стр. 511). Ошибки в сезонного индекса может привести к ошибкам в первоначальной смете уровня и направления.

Там произошли незначительные изменения в способ, что мультипликативный сезонный показатель формируется на протяжении многих лет. Как правило, данные deseasonalized использованием сезонных индекс, полученный из соотношения данных для скользящей средней или в центре скользящей средней. Сезонного индекса используется затем снова reseasonalize прогнозы после экстраполяции тренда. Метод стал достаточно широко признается, что авторы часто не потрудились указать процесс, используемый для получения сезонных индексов. Например, Makridakis и Винклера (1983) отметил, что "в первые восемь методов, данные deseasonalized до метод был применен" (стр. 989). Гарднер и Маккензи (1985) отметил, что "когда модели были установлены на deseasonalized данных, сезонные индексы были рассчитаны с отношением к методу скользящей средней .... Прогнозы были reseasonalized до ошибки были составлены" (стр. 1241) .

Даже тогда, когда метод Зимы "используется для автоматического обновления сезонного индекса, по-прежнему необходимо для создания первоначального сезонного индекса. Гарднер (1985) предположил, что "разложение методы могут быть использованы для начала сезонных факторов" (стр. 12). Уинтерс (1960), первоначально предложили простой инициализации процедуры для его метод, основанный на соотношении среднегодовых, с поправкой на тренд оценки. Makridakis, Колесник и McGee (1983, стр. 123) предложил инициализации с еще проще отношение к среднегодовой когда есть ограниченные данные. Использование экспоненциального сглаживания сезонных обновить индекс сталкивается с трудностями, которые наблюдались некоторые авторы. Например, Банн и Vassilopoulos (1983) отметил, что "сезонные индексы пересматриваются реже, чем уровень и тенденцию оценки в нормальных адаптивные методы прогнозирования, и, обычно короткий ряд данных, используемых в практике, что при условии большей оценке шума" (р . 517). Гарднер и Маккензи (1989) говорится о "завышением данных и чрезмерное усиление сезонный характер... [А]... Две проблемы, общие для сезонного экспоненциального сглаживания с линейной тенденции" (стр. 375). Макклейн (1974) исследовали поведение экспоненциального сглаживания сезонных и поставили под сомнение использование экспоненциального сглаживания для переоценки сезонными факторами.

нарушения взял в сезонных факторов долгоживущих (будучи сглаженной только один раз за сезон) .... Модификация сезонных факторов должно быть сделано одновременно, а не на один раз, и только тогда, когда есть веские основания полагать, что изменения в сезонных колебаний не произошло. (Стр. 1303)

Еще одна трудность в обновлении сезонного индекса с экспоненциального сглаживания (метод Уинтерс ') является то, что дополнительный параметр должен быть оценен. Эта трудность преодолевается, в определенной степени, наличием прогнозирования программные пакеты, которые будут автоматически вести поиск параметров, обеспечивающих наилучшее согласие с данными. К сожалению, как отметил Гарднер (1985), подходят для данных не может быть хорошим показателем точности прогноза. Таким образом, Гарднер отметил, что "желательно подвергнуть параметров тестирования бывших анте" (стр. 8).

Оценки сезонного индекса отношение к методу скользящей средней, были популярны с начала этого века. Shiskin (1958) описал Бюро переписи населения США адаптации этого метода и атрибутов метод работ Уоррен лиц (1919a, 1919b). Метод переписи населения с тех пор несколько раз пересматривался, и включает корректировки торговых дней, и попытка определить тенденции и бизнес-цикла. Описание разложения переписи II можно увидеть в "Аль Makridakis и др. (1983, стр. 149) и Makridakis и Колесник (1989, стр. 121). Makridakis и др.. (1982) рассмотрело вопрос об использовании сезонных индексов от метода переписи II (а также один год вперед проекции этих факторов от переписи населения в качестве альтернативы "deseasonalizing данных с помощью простого соотношения к скользящей средней (по центру) Метод декомпозиции "(стр. 141). Они пришли к выводу, что" ни одна из этих процедур производится deseasonalized прогнозы, которые были лучше, чем отношение к центру методу скользящей средней... "(стр. 142).

Shiskin (1958) предоставляется справочная информация по решению Бюро переписи населения принять отношение к методу скользящей средней измерения сезонных колебаний, отметив, что "это было почти всеобщим признанием экономистов и бизнес-аналитиков" (стр. 1541), хотя он также отмечено, что

вполне возможно, что одинаково хорошо или даже лучше, результаты могли бы быть получены если бы мы начали с другим методом, например, метод регрессии или, может быть ссылка относительного метода .... Разработки и испытания альтернативных методов и сравнение с настоящим метод может также значительно увеличить наши знания экономического анализа временных рядов. (Стр. 1541)

Он заявил также, как факт, и общее ошибочное мнение влияния среднегодовой, говоря: "Эти ежегодные средние устранения сезонных колебаний..." (Стр. 1541). Makridakis и др.. (1983) повторил это распространенная ошибка в тексте,

отношение к скользящих средних, метод первого изолятов тенденция цикла данных путем вычисления скользящего среднего значения, число которых в условиях равна длине сезонности. Скользящее среднее эта длина не содержит никаких сезонных эффектов и практически не случайность. (Стр. 137) Аналогичное замечание находится в 1989 текста (стр. 99). То, что такая скользящая средняя не исключает сезонность будет показано в дальнейшем.

Эта статья покажет, что отношение к методу скользящей средней содержит систематические ошибки при наличии тренда (либо линейный или нелинейный). Наконец, в документе представлены альтернативные методы оценки сезонных индексов, которые не содержат этой ошибки и удобны тем, что они могут быть запущены на программу электронных таблиц (с возможностью регрессии) с помощью небольшого числа точек данных. В оставшейся части этого документа, сезонный цикл будет четыре сезона в год (четверти), хотя срок может быть 12 месяцев и 7 дней в неделю, или какой-либо другой период. Нелинейного метода (которые будут представлены) представляется особенно перспективным в качестве удобной альтернативой стандартным методом получения сезонного индекса, во многих обстоятельствах. Нелинейный метод основан на одновременном разложении мультипликативным сезонным мультипликативный тенденции и шумовые составляющие, используя подход логарифмической регрессии.

Мультипликативные "Тренд"

Мультипликативным тенденция, которая производит один процент роста или снижения, а не добавка роста или спад. Мультипликативные тенденции часто предполагается, в бизнесе, финансах и экономике, но менее часто используется для прогнозирования бизнеса. Мультипликативные (в процентах) тенденции, возникающие в модели роста численности населения, валюта, инфляция, экономический рост, и капитальных вложений. Стандартная формула для роста основных из-за сложных процентов является примером мультипликативным тенденция, то есть P (1 ILT. Другим примером является экспоненциальной функцией, Peit, где я, может быть положительным или отрицательным. Pegels (1969) подвел итоги формул, необходимых для выполнения экспоненциального сглаживания с мультипликативной тренд и он сослался на мультипликативным тенденции, модели, что "представляется более вероятным в реальных приложениях жизни" (стр. 312), чем добавка (линейный) тренд. Такие модели также описаны в Makridakis и др.. (1983, с. 109-111).

Мультипликативным тенденция часто предоставляют в большей мере соответствовать deseasonalized данных, чем добавка (линейный) тренд. Например, Makridakis и др.. (1983, стр. 103, 115-116) показал, что экспоненциального сглаживания с мультипликативной тенденции и мультипликативным сезонным (Pegels классификации C-3) при условии "высшей" подходит и экспорт данных из французской фирмы для 6-летнего периода. Еще одна причина полагать, что нелинейный подход к перспективным является то, что некоторые авторы получили некоторый успех с помощью формы экспоненциального сглаживания с нелинейными тенденции (см. Гарднер

СТАНДАРТ индекс сезонных изменений и прогноз ОШИБКА

Представляется разумным ожидать, что выбранный метод оценки сезонных индекс быть в состоянии правильно измерения сезонных эффект от ряда данных, которая содержит никакого шума. Такой метод будет считаться согласованным в настоящем документе. Ниже будет показано, что подходы, основанные на соотношении к скользящей средней не последовательны и содержат систематическую ошибку. Оценки ошибку прогноза также предоставлены. Таблица 1 показывает, обычных расчета мультипликативных сезонного индекса центрированные скользящие средние (классические разложения) в течение 3 лет квартальных данных продаж. Данные об объемах продаж в первом столбце таблицы 1 были построены линейного тренда и сезонный эффект и не содержат шум. В результате сезонных индекс был скорректирован с среднем 1,0 (и сумму 4,0), и показано, как в последней колонке таблицы 1.

Строительство данных о продажах в таблице показано в Таблице 2. Линейного тренда используется, который увеличивается на 20 единиц в период с базы 100. Мультипликативный сезонный эффект был выбран имеют значения 1,8, 1,1, 1,0, 0,1 за четыре квартала. Эти данные не содержат шум. Также показано продаж данных, полученных за счет расширения этой модели на четыре года. Прогноз точность будет определяться путем сопоставления прогнозов четвертый результаты года (на основе 3-х лет исторических данных) с фактическими результатами за год 4, как показано в таблице 2. Таким образом, точность прогноза будет определяться по postsample (или предполагаемых) основе.

Обратите внимание, что индекс сезонных получаются из стандартных методов (в последней колонке таблицы 1), отличается от фактического значения используются для построения данных об объемах продаж (в таблице 2) и погрешности существенные, хотя данные не содержат шум. Это будет показано, что ошибки, как правило, хуже, если эта тенденция носит нелинейный характер. Отметим также, что 1 год потери данных в процессе получения центрированные скользящие средние. Таким образом, 3-х лет данные приводит только две копии каждого предварительного сезонный характер. Кроме того, если данные были шумные, полную дозу шума будет проводиться по каждому из предварительных seasonals. Этот шум будет снижена только усреднение две оценки каждой сезонной в следующей колонке таблицы 1 (Smooth).

Если данные о продажах в таблице являются deseasonalized использованием сезонных индекса стандартным методом (от последней колонке таблицы 1) и в результате deseasonalized данные приведены, четко сезонный характер, остается. Deseasonalizing данных производится путем деления каждой точки данных на соответствующий индекс сезонных (Y / S ^ J ^ к югу).

Ошибки в сезонного индекса будет распространяться до прогнозов. Если эта тенденция правильно оценить (это труднее с плохим seasonals), то прогнозируемые ошибки прогноза в процентах от фактического значения будут, как показано в таблице 3, когда данные reseasonalized. Эти ошибки получены из соотношения сезонного индекса в таблице 1 на правильные значения в таблице 2. Например, предполагаемый прогноз ошибку за квартал 1, (1.7561/1.8-1) x10 =- 2,439%.

Таблица 3 показывает также фактические ошибки прогноза для каждого квартала следующего года (год 4) из трех методов в результате использования сезонных индексов в таблице 1. Методы представлены обычные наименьших квадратов регрессии, метод линейного Хольт экспоненциального сглаживания, а также сезонные и линейного экспоненциального сглаживания Уинтерс. Обратите внимание, что ошибки от регрессии и от метода Хольт очень близки к тем прогнозам, в то время как ошибки по методу Винтерс немного лучше, так как метод Зимы "постепенно восстанавливает ошибки в первоначальном сезонного индекса. Ошибки рассчитывается из соотношения прогноза на период в 4 года в фактических результатов из таблицы 2. Например, ошибка метода Холт за 1 квартал года является 4: Это postsample точностью, так как модели оснащены данным на 1 года до 3 только.

При построении регрессии погоды в таблице 3, линии линейной регрессии был установлен на deseasonalized данных. Сезонного индекса была использована снова reseasonalize прогноз. Кроме того, метод Хольт был применен к deseasonalized данных и прогнозов, то reseasonalized. Для метода Уинтерс, сезонные индекс из таблицы 1 был использован в качестве первоначальной сезонного индекса. Для экспоненциального сглаживания (Холт и Уинтерс) начальный уровень и тенденции были получены от регрессии по deseasonalized данных и 100,081 и 20,013, соответственно. Параметры для экспоненциального сглаживания были настроены на общих низких значений альфа = 1, Beta1, спрос Gamma = 1 (для зимы).

Для сравнения, прогноз ошибки были получены Холт и методы Винтерс с оптимизированными параметрами. Параметры были оптимизированы в связи с нужным исторических данных (лет с 1 по 3 только) с помощью критерия МАПО. В результате МАПО для подгонки к историческим данным составляет 2,4% для метода Холт и 2,3% для метода Уинтерс. Прогноз точности год 4 (postsample точности) показано в таблице 4. Оптимизированную версию метода Уинтерс 'использует гамма = 1,0, и это приводит к быстрому улучшению сезонного индекса из-за отсутствия каких-либо шума в данных. Использование гамма = 1,0 с шумными данных, как правило, нежелательно, поскольку это не приводит к сглаживанию сезонных колебаний и запутало бы шума и сезонности. Использование меньшего параметр для сглаживания сезонных индекс привести к ошибкам в начальный индекс будет долго жил.

Оптимизация параметров метода Хольт на основе согласия с историческими данными (лет я до 3) не приводит к повышению точности прогноза на год 4 в этом случае. В самом деле, оригинальный nonoptimized параметров (0,1, 0,1) в отношении метода Холт производят несколько лучше прогнозов на год, когда 4 судить по МАПО. Как следствие такого поведения, некоторые прогнозисты консультировать удержания некоторые данные и выбрать параметры модели на основе postsample ошибка меры при наличии достаточных данных доступна.

Последнее замечание будет о возможности ARIMA (авторегрессии комплексного скользящее среднее) альтернативы выше. Линейным трендом и мультипликативной сезонной очень популярны в прогнозировании. Экспоненциального сглаживания методы обеспечивают удобное обращение из них. Однако, как отметил Гарднер (1987, стр. 193) ", многие модели экспоненциального сглаживания не ARIMA эквиваленты. Например, в линейной модели с мультипликативным тенденция сезонности не имеет аналогов ARIMA."

Стандартный индекс сезонных с нелинейным "Тренд"

Проблемы, связанные с сезонными индекс от стандартного метода при отягчающих обстоятельствах, когда тенденция носит нелинейный характер. Например, ряд данных в течение 3 лет был создан таким образом, как и для продажи данных в таблицах 1 и 2, кроме того, что эта тенденция изменилась от линейного тренда 20 единиц за период, в процентах или соединения роста тенденция к 20% в период с базы 100, то есть, 100, 120, 144, и т.д. То же сезонный эффект был применен ранее (1,8, 1,1, 1,0, 0,1). В результате сезонного индекса от стандартного метода приведены в таблице 5 вместе с прогнозируемыми ошибки прогноза. Данные приведены в таблице 6a Ошибки размер показано в таблицах 3 и 5 будет дорого стоить в некоторых приложениях и в значительной степени избежать.

Прогнозируемый прогноз ошибки рассчитываются таким же образом, как и для Таблица 3 из соотношения сезонного индекса в таблице 5 на правильные значения в таблице 2. Например, предполагаемый прогноз ошибку за квартал 1, (1.7218/.8-1) x100 =- 4,344%. Это прогноз ошибки, которые возникнут в результате использования этого сезонного индекса, если эта тенденция корректно оценить.

Источник ошибки

Как уже говорилось ранее, это обычно предполагается, что годовой скользящей средней не содержит сезонности как отметил Shiskin (1958) и Makridakis и Колесник (1989, p. 99). К сожалению, это логическое предположение не является правильным, как это описано ниже. Если бы это было верно, что годовой скользящей средней не имеет сезонности, то для данных без шума (как в таблице 2), скользящие средние ежегодные должен содержать только тенденцию и цикл (если есть). По данным без шума и не циклический элемент, годовой скользящей средней должен содержать только тенденции и должно быть на линии тренда. В самом деле, годовой скользящих средних и связанных с ними центрированные скользящие средние как правило, не на линии тренда, даже тогда, когда тренд является линейным, как показано ниже.

Данные с мультипликативным сезонным эффектом часто представляют, как показано ниже, где продажи или требовать данные Y, сезонных компонент S, T тренд, циклический компонент C, а шум или случайный элемент R, все время период t. Как отметил Makridakis и Колесник (1989, стр. 96), "практически все серии в экономической и деловой областях состоят сезонности и циклов, которые пропорциональны этой тенденции, и, следовательно, мультипликативная модель является целесообразным".

Если нет шума и не циклический компонент (R ^ югу T ^ C ^ югу т = 1,0), то представление Y ^ югу T ^ = S ^ ^ т к югу, к югу T ^ T ^ Если эта тенденция является линейной с наклоном B и Y-перехват, а затем к югу T ^ т = Bt, и представление данных может быть показано как: Гарднер (1987) отмечает, что "линейный тренд является самым популярным предположение на практике" (р . 175). Сезонного индекса S определяется в среднем 1,0 (или 100%).

В случае квартальных данных среднегодовой состоит из 4 пунктов. Легко показать, что среднее значение первых четырех слагаемых (Т = 1 до 4) ряда в (2), M ^ 1 ^ к югу, как указано ниже: В общем, это скользящая средняя не будет на тренд линии при Т = 2,5, если не существует сезонный эффект (Srl) или нет тенденции (B = 0), и в этом случае средняя возьмет на правильное значение 2.SB.

Кроме того, в центре скользящей средней формулой (М-М), не будет находиться на линии тренда. В самом деле, легко показать, что первые такие центрированные скользящие средние, приведен ниже: Опять же, это выражение не будет, как правило, по линии тренда при Т = 3, если нет сезонный эффект или нет тенденции, и в этом случае в центре скользящее среднее будет взять на себя правильное значение 3B.

Таким образом, годовой скользящих средних и центрированные скользящие средние, как правило, содержат сезонной составляющей и методы для получения сезонных индекс из этих средних не последовательны и содержат систематическую ошибку. Методы представлены в следующих разделах разрешения оценка сезонный эффект на последовательной основе с помощью небольшого набора данных. Два подхода представлены, первый предполагает мультипликативным тенденции и второе предполагает добавки (линейных) направления. Предполагается, что метод мультипликативным тенденция рассматривать в качестве альтернативы стандартным методом, особенно когда сезонный показатель должен быть оценен по небольшой базе данных. Метод представлены линейным трендом является последовательной и очень проста в использовании, но имеет определенные недостатки, как это будет обсуждаться.

В соответствии оценки параметров возможны всего лишь пять точек данных (I год плюс один период). Эти пять пунктов, а также с требованием, чтобы FS.4, разрешение согласованных оценок 6 параметров S1, S2, S3, S4, A, B, и, либо в случае нелинейной Sl, S2, S3, S4, P, и я . Наличие большего числа точек данных позволяет некоторое сглаживание оценки параметров.

Мультипликативным TREND / мультипликативным Сезонная модель

Как уже говорилось ранее, мультипликативным тенденция часто оказывается обеспечить подходящую модель для тренда. Такая тенденция дает рост в процентах или отклонить. Если индекс сезонных также мультипликативным (как в данном документе), то продажи по времени / и J сезон может быть представлен как Y, ниже. Построены данные о продажах в 6a стола были построены таким образом: построены данные о продажах в таблице 6a те же данные считаются в таблице 5. Сезонного индекса от стандартного метода показано в таблице 5 с прогнозируемым ошибки прогноза.

В этом случае сезонного индекса может быть удобно получить регрессии в программе электронных таблиц или в статистических программ следующим образом:

1. Получить натуральный логарифм данные о продажах, журнал [Y (т)], как показано в таблице 6a.

2. Построить т времени индекс, как показано в таблице 6a.

3. Построим показатель матрица, состоящая из повторяющихся ежегодных последовательность нулей и единиц, как показано в таблице 6, a для использования в качестве сезонных переменных индикатор (или сезонные фиктивные переменные). Например, определить переменную 12 будет 1, если текущий период времени во втором квартале, и 0 в противном случае. Четыре таких переменных, необходимых для квартальных данных и 12 для ежемесячных данных.

4. Регресс журнала (1 на 5 переменных Ip МР, 12, 13,14, и т использовании нет постоянной вариант, используя модели, показанной ниже. Полученные коэффициенты регрессии обозначены как Ы, B2, B3, B4 и b5.

5. Коэффициентов регрессии логарифмов других, более интересных количествах. Exponentiate каждого из коэффициентов регрессии (повышение в степени е, Naperian база) и называем эти Ъ, как показано в таблице 6b.

6. Необходимых параметров оценки могут быть получены как показано ниже. Эти результаты представлены в таблице 6, b для построенных данных и вывод формул (6) через (10) следующим образом. Более того, если L Есть периоды года или цикла (например, 12 месяцев), то не должно быть L индикаторных переменных в шаге 3, а делитель в (8) следует Л.

Одно из преимуществ этого метода является то, что в результате сезонного индекса (в таблице 6, b) не требует корректировки причиной seasonals на сумму 4 (л = средний). Еще одним преимуществом является то, что тенденции и сезонные элементы разлагаются одновременно, а не последовательно, и, что шум является одновременно удалить или сведено к минимуму с помощью регрессии. Кроме того, этот метод является в соответствии с мультипликативным предположить тенденции и мультипликативным сезонным. Метод рекомендуется использовать в первую очередь в качестве альтернативного способа получения сезонных индексов для прогнозирования бизнеса, а не как самостоятельный метод прогнозирования. Этот вопрос обсуждался затем в раздел с практическими последствиями.

Вывод оценок параметров

Развитие формулы (6) через (10) для оценки параметров следует мультипликативной модели тренда. Модели продаж Y за время т и J сезон был представлен в качестве выражения (5). Принимая натуральный логарифм от обеих частей (5), получим: Может показаться, что (11) могут быть использованы в качестве основы для регрессии форму ниже, где I ^ J ^ югу являются индикаторные переменные (0,1) для сезонов, и б ^ O ^ к югу есть логарифм P. Это модель регрессии не может быть запущена непосредственно в результате хорошо известных статистических задачи (мультиколлинеарности). Если три из сезонных показателей известны за определенный период (например, 1, 0, 0), то четвертый определяется (например, 0). В результате существование нескольких решений модели (12). С точки зрения прогнозирования, масштабирование сезонные (в среднем 1 100 или что угодно) является произвольным. Обычные статистические решения этой проблемы с индикатором переменных бросить один из показателей (см., например, Мак-Клав

В этой работе различные решения предлагается, используя различные модели регрессии и нет постоянной возможностью, предусмотренной в большинстве пакетов регрессии. Логарифм соединения модель роста (5) может быть выражено в другом виде: Это выражение может быть представлено следующим регрессионной модели с не постоянной (перехват вынуждены 0):

Линейный тренд / мультипликативных СЕЗОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Линейные (аддитивные) тенденции в сочетании с мультипликативным сезонным эффектом, как и в (2) и в таблице 1, на самом деле более неловко с математической точки зрения, чем модели с мультипликативным тенденция, и Есть несколько способов справиться с этой ситуацией, некоторые из которых будет кратко описана здесь. Одним из подходов является использование мультипликативных моделей тенденции представлены ранее. В результате сезонного индекса не будут в полном соответствии с линейным трендом (с нелинейной тенденция предположить), но результаты, зачастую лучше, чем полученные обычным разложения от скользящей средней. Например, если построить данных для линейного тренда используются (из таблицы 1), мультипликативная модель производит тенденция сезонного индекса в таблице 7, а не исходному сезонного индекса (в таблице 2), которая была использована для построения данных.

Обратите внимание, что этот результат не полностью соответствует, это значительно лучше, чем это предусмотрено обычным способом (как показано в таблице 1, согласно прогнозам, ошибки в таблице 3). По сути, прогнозируемое МАПО для стандартных метод более чем в 2,5 раза больше. Прогнозируемый прогноз ошибки были получены, как прежде, из соотношения сезонного индекса в таблице 7 для правильного значения в таблице 2, а также дать оценку ошибки прогноза на следующий год, если бы истинные линейного тренда точно прогнозируемые. Например, прогнозируемый ошибку прогноза на первый квартал года 4 е. (1.779585/1.8-1) x100-1,13%.

Один из способов получить согласованное решение (1, что является правильным в отсутствие шума) заключается в получении алгебраических решение для 6 параметров выражения (2) от 5 точек данных, то вместе с требованием, что сезонные значения индекса Sj сумму 4,0. Это может быть сделано несколько раз для последующего множества 5 точек данных и seasonals может затем быть сглажены или иным способом, чтобы ослабить шум. Этот подход имеет определенные недостатки. В частности, формулы для решения шесть параметров (S ^ 1 ^ к югу, к югу S ^ 2 ^ S ^ 3 ^ к югу, S4, и B), в зависимости от точек данных Y ^ ^ 1 к югу к югу Y ^ 5 ^, громоздки и зависят от времени начала и четверти пять точек данных. Кроме того, результаты будут шумно на каждом этапе. Преимущество в том, что решения возможны с очень малым наборов данных 5 баллов (или 1 год плюс один период и более).

Второй и более удобный подход, который обеспечит последовательное решение приводится ниже, но требует, по крайней мере 2 года данные должны представляться. Это второй последовательный линейный метод требует только простые расчеты и интуитивно привлекательным.

1. Fit линейное уравнение тенденция к данным для каждого сезона отдельно регрессии или иным способом (в течение 2 лет данных только простые расчеты необходимости). В результате четыре уравнения тенденция будет назначен Yt], как показано ниже, где / индекс сезонов (J = 1 ... 4):

Этот метод прост в использовании и в соответствии с линейным трендом в том, что он будет производить правильные сезонные при отсутствии шума. Это линейный метод относится к инициализации метод, рекомендуемый Уинтерс (1960) для сезонного экспоненциального сглаживания. Тем не менее, инициализации Винтерс не согласуется с линейным трендом и не даст правильный seasonals для передачи данных в таблице 1 (хотя это близко). инициализации Винтерс также требует 3 лет исторических данных.

Линейный метод шаги 1-4 показано в таблицах 8а и 8б, где он применяется для бесшумной данных в таблице 1. Обратите внимание, что только 2-х лет данные необходимы. Использование данных для целей лет 2 и 3 дает другую оценку сезонного индекс, который совпадает в этом случае. Пример расчета для последующей Ы и др.. 2 точек данных для первой четверти Y = 180 на TL, а Y = 324 на S5. Наклона линии, соединяющей эти точки является BL = (324-180y4 = 36, а Y-Перехват-эль = 324 - (bl5) = 144.

Обладая более чем 2 лет данных, компьютерных регрессии могут быть использованы для получения параметров ап B. для линейного метода. Эта процедура может быть автоматизирована, в некоторой степени, выполнив одно уравнение регрессии с использованием показателей и нет постоянной вариант.

Вывод оценок параметров-линейный метод

Так как сумма seasonals Si равен 4,0 (на квартальные данные), то из (19) и (20), среднее значение РЖ и среднее значение Ь есть В, где А и В перехват и наклон на общую тенденцию, соответственно. Обратите внимание, что (15) приводятся разные линейное уравнение для каждого сезона. Каждая из этих четырех уравнений может иметь различный наклон и перехват. Регрессии на исходные данные обеспокоен этой проблемы и в целом не обеспечивают правильные параметры А и В на общую тенденцию. В самом деле, регрессия на сырье линейных данные об объемах продаж (в таблице 1) от времени (Т) будет производить примерно склона (Б) 8,46 и примерно постоянным (А) 142, а не правильные значения B = 20 и A = 80, которые были использованы для построения данных. Таким образом, обычная регрессия на исходные данные не должны использоваться для detrend данных (или инициализировать экспоненциального сглаживания), а результаты не соответствуют данные, содержащие линейным трендом и мультипликативной сезонными.

Линейного метода выше, была представлена в качестве демонстрации того, что согласованные оценки мультипликативной сезонной индекс возможны линейного тренда. Линейный метод может быть использован как способ инициализации метод Уинтерс.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ

Стандартный метод для получения сезонных индекса отношение к скользящей средней предоставляет возможность оценить, когда тенденция присутствует. Кроме того, стандартный метод дает лишь слабое сглаживание шума в сезонного индекса. Тем не менее, во многих случаях стандартный метод может быть достаточно хорош и обеспечивает сравнительно простое решение. Количество погрешность по стандартной методике, зависит от масштаба тенденции и сезонных эффектов. Когда эти эффекты являются скромными, является стандартным методом для оценки сезонных индекс может быть недостаточно. Пример приводится в Приложении использованием 3-х лет данные по продажам Wal-Mart Stores (большой розничной США). Этот пример отображает более умеренных тенденций и сезонных эффектов, чем таблице 1, а также умеренное количество шума. Эта тенденция также примерно линейно. Тем не менее, индекс сезонных из нелинейного метода к этой статье показано, обеспечить лучше подходят к этим данным. Преимущество нелинейного метода данной работы является в одновременном разложении мультипликативным сезонным и мультипликативные компоненты тенденции, используя все точки данных, одновременно снижая шум с помощью регрессии.

Если не тенденция присутствует, то гораздо легче получить точные сезонного индекса. Строительство данных о продажах в таблице 2 может быть изменен путем применения новой тенденции или уровня от 100 до каждой точки данных, чтобы дать повторяющуюся последовательность данных о продажах, 180, 110, 100 и 10 единиц. Легко показать, что стандартный метод, метод линейного и мультипликативной модели тенденция будет все правильно получить сезонного индекса, в этом случае (1,8, 1,1, 1,0, 0,1). Выбор метода в данном случае могут быть сделаны на основе удобства и на основе выполнения сглаживания шума.

С 2 или 3 лет исторических данных, нелинейный метод работе появляется хорошо работать в получении сезонного индекса в самых разнообразных обстоятельствах. Во-первых, как видно из таблицы 6, метод хорошо работает, когда истинные тенденции является мультипликативным и показывает соединение (в процентах) роста или падения с этой структуры предполагалось. Метод также хорошо работает, когда нет тенденции, так как это особый случай мультипликативной модели тренда (с / = 0). Кроме того, модель работает на удивление хорошо, когда истинные тенденции является линейной, с результатами, которые зачастую лучше, чем у стандартной модели (как это видно из таблицы 7 и в Приложении). Линейные методы, с другой стороны (в том числе к этой статье), может выполнить плохо, если правда тенденция носит нелинейный характер.

Нелинейного метода к этой статье может быть несколько уязвимых в отдаленных точек данных, из-за зависимости от наименее регрессии квадратов. Нелинейным методом, также могут не выполнить хорошо, если есть существенные тенденции с нелинейными характеристиками, которые значительно отличаются от кривой роста процент или спад. Примеры тенденций, которые могут создать трудности включать вогнутых функций и функций с точки поворота. Дополнительные исследования могут быть необходимы для таких случаев.

Если нелинейная модель работает на стандартных программных регрессии в электронную таблицу или статистических пакетов, то уход необходим в интерпретации сообщили значения coeficient определения (R ^ SUP 2 ^) и F статистики. Эти значения могут вводить в заблуждение, когда нет постоянного опция используется. Например, популярный пакет таблиц отчетов значение R ^ SUP 2 ^ =. 64 для примера в табл 6а и 6b, даже несмотря на то согласия с данными является совершенным. Больше соответствующего значения для R2 (в данном случае 1,0) могут быть получены путем запуска модели с постоянной и с одним из индикаторных переменных удален. Еще одна проблема со стандартным программным обеспечением регрессии является то, что эти пакеты будут часто отказываются работать, если количество точек равно количеству параметров. Таким образом, минимальный набор данных, необходимых для запуска модели с использованием регрессии как правило, будет шесть периодов (квартальные данные) или 1 год плюс два периода. Алгебраических решение возможно с 5 точек данных (1 год плюс один период), с помощью 5 копий (5), а также требование о том, seasonals сумму 4,0 (в среднем 1,0).

Нелинейная модель предлагается в качестве альтернативного метода получения сезонных индексов. Хотя эта модель может быть использована для прогнозирования продаж непосредственно из (5) или (6), такое использование не может быть мудрым. Одна из проблем при использовании модели для прогнозирования прямой характеристикой любого обычным методом наименьших квадратов регрессии, а именно, что моменты времени, рассматривались как имеющие меньшее значение. Экспоненциального сглаживания моделей и моделей дисконтированных мере квадратов регрессии уделять больше веса на последних данных и могут предоставлять более точные прогнозы. Вторая трудность связана с использованием модели для прямого прогноза, что если значение параметра я положительно, то модель проекта экспоненциальный рост. Гарднер и Маккензи (1985) показывают, что проектирование экспоненциального роста в будущем ", вероятно, опасный вариант в автоматическом модели прогнозирования" (стр. 1238). Напротив, они добились определенных успехов затуханием тенденции в прогнозах. Если прогнозы генерируются из линейного экспоненциального сглаживания, модель обеспечивает удобный оценки начального уровня и тенденций серии, как P (1 я) и IP (Li), соответственно. Если прогнозы генерируются из экспоненциального сглаживания с мультипликативной тренд (Pegels классификации C-1 или С-3), то начальная тенденция просто (1 т) ..

ВЫВОДЫ

Эта статья показывает, что традиционный метод оценки сезонных индекс деловых прогнозов содержит систематические ошибки при наличии тренда. Ошибки, как правило, хуже, если эта тенденция является крупной или нелинейной, и если сезонный эффект велик. Кроме того, документ показывает, что ошибка передается по прогнозам ли сезонные индекс используется для deseasonalize данных и используется для инициализации метод Винтерс экспоненциального сглаживания. Сделан вывод, что более точные прогнозы возможны при небольших дополнительных затратах в некоторых случаях за счет улучшения оценки сезонного эффекта. Такое улучшение может привести к значительной экономии средств в некоторых приложениях, таких как, допуская снижение уровня безопасности запасов и средний уровень запасов.

Необходимы дальнейшие исследования по экстраполяции прогнозов в ситуациях, представляющих тенденцию и сезонные компоненты, а также изучение методов, которые соответствуют, что они дают правильные результаты при отсутствии шума предложил. Две такие последовательные методы для генерации мультипликативным сезонного индекса были представлены в этой статье, 1 для линейного тренда и одна для мультипликативных тенденции показаны в процентах (нелинейный) рост или падение. Оба метода могут быть использованы для короткой серии данных, и оба они могут быть легко запустить программу электронной таблицы или статистического программного обеспечения.

Нелинейный метод представляется перспективным в качестве альтернативы традиционным подходам. Необходимы дальнейшие исследования, чтобы сравнить эффективность методов этой работы с выполнением стандартных методов в ряде реальных приложениях, а также разработать руководящие принципы отбора сезонные модели разделения сезонных и тенденции компонентов данные о продажах немного сложнее, чем это обычно предполагается. Помощи в строительстве сезонных индекс может быть вознагражден более точные прогнозы. [В редакцию: 29 октября 1994. Принято: 28 мая 1996.]

REFRENCES

Армстронг, J. S. (1994). Прогнозирование с помощью экстраполяции: Выводы 25 лет исследований. Интерфейсы, 14 (6), 52-66.

Банн Д.,

Гарднер, Е. (1985). Экспоненциального сглаживания: состояние искусства. Журнал прогнозирования 4 (1), 1-28.

Гарднер, Е. (1986). Комментарии. Интерфейсы, 16 (1), 106-107. Гарднер, Е. (1987). Сглаживание методов для краткосрочного планирования и контроля. В С. Makridakis

Гарднер, Е. (1990). Оценка прогноза деятельности в системе управления запасами. Управление науки, 36 (4), 490-499.

Гарднер, Е.,

Гарднер, Е.,

Гарднер, Е.,

Ли, T., Адам Е.,

Махмуд, Е. (1987). Оценки прогнозов. В С. Makridakis

Makridakis, S.,

Makridakis, S., Колесник, С.,

Makridakis, S.,

Макклейн, J. (1974). Динамика экспоненциального сглаживания с тенденцией и сезонных условий. Управление науки, 20 (9), 1300-1304.

Мак-Клав, J., постоянного Бенсон, П. (1991). Статистика для бизнеса и экономики (5-е изд.). Сан - Франциско: Деллен / Макмиллана.

Миллер, T.,

12 (5), 311-315.

Лица, W. (1991a). Индекс деловой конъюнктуры. Обзор экономики и статистики (Jan), 5-107.

Лица, W. (1991 г.). Индекс общих условий бизнеса. Обзор экономики

и статистике (апрель), 111-212.

Shiskin, J. (1958). Разложение экономических временных рядов. Наук, 128 (3338), 1539-1546.

Value Line Инвестиционный обзор. (1994). Value Line любая сложная проблема имеет 49 (37), 1653. Wemmerlov, У. (1989). Поведение много-процедуры калибровки в присутствии прогноз ошибок. Журнал операций управления, 8 (1), 37-45. Уинтерс, П. (1960). Прогнозирование продаж экспоненциально взвешенных скользящих средних. Управление науки, 6 (3), 324-342.

Питер Т. Ittig

Департамент науки управления и информационных систем Университета штата Массачусетс, Boston, MA 02125-3393

Питер Т. Ittig является доцентом науки управления в Департамент по вопросам управления и информационные системы, Колледж управления Университета штата Массачусетс в Бостоне. Он также является председателем Высшего комитета по программе колледжа менеджмента. Он получил докторскую степень степени из Корнельского университета, магистр естественных наук степень в Университете Пердью, и закладная степени от Университета штата Нью-Йорк в Буффало. Он ранее занимал факультет назначений в Высшей школе государственного управления, Нью-Йоркского университета и факультета управления, Университет штата Нью-Йорк в Буффало. Его профессиональный опыт включает работу в качестве программы аналитик Министерства здравоохранения США (Управление по планированию, оценке и законодательства, здравоохранения администрации) и занятости, а аналитик исследования операций с научно-исследовательским анализа корпорации (исследований федерального контракта в центре). Его работа была опубликована в Decision Sciences, Управление науки, социально-экономического планирования наук и других странах. Научный и практический интерес в сервисных операций и управления наукой.