Эвристические процедуры эффективного практического размера capacitated дизайн складских и управления

Эффективное эвристической процедуры Практические-Sized Capacitated Дизайн Склад и управление *

РЕЗЮМЕ

Цель настоящего документа заключается в уточнении и испытания конструкции системы распределения модели и оценить его эффективность по отношению к качеству решения, проверки моделей и алгоритмов. В статье приведены по развитию многопродуктовыми модели складской логистики. Логистической модели используется для прогнозирования производительности распределительных компаний, которые обычно приходится иметь дело с себестоимость продукции, затраты на распространение продукции из множества складов клиентов массовой информации, уровня услуг, предоставляемых своим клиентам, а также гибкость для каждого продукта группы и сегмента рынка. Предметные области: Дистрибуция / управлению цепочками поставок и смешанная программа Integer

ВВЕДЕНИЕ

Важный стратегический вопрос, который касается лица, принимающего решение, участвующих в планировании и эксплуатации системы физической распределения является определение лучших мест для промежуточных пунктов хранения, или складов. Чтобы оставаться конкурентоспособными, организации должны иметь возможность гибко реагировать на изменения рынка. Эти изменения включают колебания в количестве продуктов потребовал, короткий цикл продукции, а также введение дополнительных возможностей для продукта. Поэтому, очень важно для фирмы, анализирует свои физические стратегии распределения, которая включает спецификации своей сети стратегии.

Типичные стратегии сеть включает в себя определения количества мест, помещений (установка представляет собой физическую структуру, такие как склад или распределительный центр), распространение деятельности, порученной каждой объекта (деятельности обозначает сочетание нескольких задач, которые являются однородными по спроса и распределения характеристик, каждая задача может соответствовать конкретным продуктом или услугой, которая предоставляется), и распределение клиентов по каждому объекту, с тем чтобы удовлетворить их спрос на различные продукты.

Частые цель при разработке проблемы складской логистики заключается в определении общего мере проектная стоимость системы, такие, что все потребности клиентов для различных продуктов удовлетворяются в пределах допустимых ограничений. Это влечет за собой подробный анализ различных компромиссов между присущие стоимость компонентов системы, которые включают: (1) Стоимость открытия и эксплуатации объектов, а также (2) учет входящих и исходящих транспортные расходы. Задача размещения складов не является новой для оперативного управления, однако конечная задача заключается в выборе лучшего места для складов и в изучении характера распределения удовлетворения спроса клиентов на набор продуктов.

В связи с важным и крайне важный характер этих задач проектирования сети, количество компьютерных процедур оптимизации развивались предоставить принимающему решение с различными системами поддержки принятия решений. Capacitated задачи размещения склада был рассмотрен ряд авторов в литературе (см., например, Дэвис

Исследования по проблемам многопродуктовыми обсуждается Klincewicz и Ласс (1987), который описал двойного основе алгоритма uncapacitated версия этой проблемы. Браун, могилы, а Honczarenko (1987) также описаны процедуры оптимизации для решения capacitated версии этой проблемы. Варшавский (1973) был одним из первых по решению многопродуктовых аспектов, когда он сформулировал задачи, в которой каждому объекту был ограничен для обработки не более одного продукта без ограничения по мощности. Neebe и Khumawala (1981) предложил ветвей и границ, процедуры рассмотрения многопродуктовых проблемы. Akinc (1985) рассмотрел проблему оптимального размещения объектов многопродуктовыми чей продукт состав также не определен. Akinc представлены смешанной формулировки программирования целых multiactivity проблемы объекты логистики и предложил ветвей и границ, решение на основе процедуры для решения его проблемы.

Две основные недостатки в большинстве прошлых исследований, что он либо не иметь дело с многопродуктовыми проблему, или если оно связано с многопродуктовыми установки, то ее решение раз не всегда устойчиво. В самом деле, большая часть литературы прошлого относится ветвей и границ основе или разложения основе процедуры. Тем не менее, вычислительные соображения безусловно, препятствует проблем, которые больше, чем умеренные размеры. Совершенно очевидно, что при увеличении размера задачи, порядок дерево поиска растет в геометрической прогрессии. Таким образом, необходимость разработки проблемы, который включает установку многопродуктовыми и эффективную процедуру решения.

В этой статье многопродуктовыми версия склада логистического задача рассматривается. В этой задаче, то п различных продуктов мог быть распространен среди различных зон д клиента от м потенциальных площадок для склада.

Многопродуктовыми складской логистики проблема признает, что фирма может участвовать в различных распределения различных стратегий в их характере спроса, стандарты обслуживания клиентов, и структуры расходов. Таким образом, она часто является более эффективной и действенной, дифференцировать стратегии распределения между различными видами деятельности фирмы. В данной работе складов конечной мощности. Создание представляет собой конечное количество кубических пространства для хранения и обработки грузов. Хотя характер отведенном месте несколько определяется характером продукт хранится, отдельные склады, распределительные центры, терминалами для грузовых автомобилей и т.д., которые часто рассчитан на широкий круг товаров типов. Таким образом, она является необходимостью для решения потребности в емкости для хранения продуктов.

Дизайн логистики складов требуется два типа решений. Первая группа представляет собой решения о размещении: речь идет о выборе "р" из "м" потенциальных площадок для склада. Вторая группа включает решения, эффективные стратегии для распространения различных продуктов из множества открытых складов в различных зонах клиентов на основе потребностей клиентов для разных продуктов. Проанализированы стратегии оказывает прямое воздействие на операционные среды фирмы: проектирование и руководство определяет потребности в инвестициях для работы складов, транспортные расходы за распространение продукции на различные зоны клиентов, а также начисленных прибылей, которые неизбежно будут оказывать влияние на уровень клиентского услуг, предоставляемых стратегии распределения.

В оставшейся части этого статья организована следующим образом. В следующем разделе, формулирование проблемы capacitated дизайн склада логистики представил. Лагранжевой релаксации основе процедуры, разработанные для решения проблемы логистики дизайна. Эффективные эвристические процедуры решения, которое используется в сочетании с лагранжевой задачи затем обсудили. Эвристические процедуры решения попытки создать возможности решения этой модели в каждой итерации. Разрыв между эвристическую ценность решения и лагранжиан нижняя граница дает возможность оценить качество процедуры решения. Результаты расчетов для предложенной модели логистики сообщили. И наконец, краткое изложение работы, представленные в докладе вместе с заключительными замечаниями предоставляется.

МОДЕЛЬ РАЗРАБОТКИ

В этом разделе разработке capacitated проблемы складской логистики представлена. Предполагается, что клиент выходе местах вместе с их спрос на продукты известны заранее. Возможных мест размещения складов, а также их потенциал также известны. Количество складов, которые могут быть открыты дается как расчетная величина. Эта установка может обеспечить дизайнер инструмент поддержки принятия решений, которые могут указать количество складов и расследовать финансовые последствия дизайн модели стратегии распределения. требований каждого клиента для нескольких единиц какого-либо продукта могут быть удовлетворены ни одним из открытых складов. Проблема, это найти склады среди множества возможных мест таким образом, чтобы свести к минимуму общее переменные затраты (в том числе исходящим транспортных расходов и расходов на обслуживание потребительского спроса для различных товаров, подпадающих под ограничения возможностей), а совокупные фиксированные затраты, связанные с открытие складов.

Следующие обозначения:

ПРОБЛЕМА С:

Целевая функция минимизирует сумму фиксированную стоимость открытия средств и расходов на обслуживание покупательского спроса. Ограничение (1) гарантирует, что спрос каждого клиента выполняется. Ограничение (2) ограничивает количество объектов, которые могут быть открыты и эксплуатируются не более стр. Ограничение (3) запрещает уступку требования заказчика к закрытой объекта. Существует ограничения пропускной способности, (4), в котором есть верхний предел совокупного спроса, которое может поставляться со склада j. Ограничения (5) и (6) навязывать решение переменных взять на себя возможные значения.

Выход многопродуктовыми модель показывает, где надо найти средства и ожидаемые уровни пропускной объектов в зависимости от возложенных на них стратегии распределения. Кроме того, поскольку объекты capacitated, эта модель может обеспечить поддержку принятия решений при определении соответствующих стратегических возможностей для объектов и видов деятельности.

Иллюстрация МЕТОДОЛОГИЯ

В этом разделе решение процедура, основанная на лагранжевых релаксации задачи P представлен. Лагранжевой схемы релаксации успешно применяется в различных задачах место (см., например, Бисли, 1993; Pirkul

Лагранжевой релаксации для задачи P: Проблема LR

Лагранжевой релаксации следующие задачи P получается путем ослабления ограничений системы (1):

Эвристические процедуры решения-WARELOG

Эвристические процедуры описаны ниже, чтобы решить проблемы P, который использует решение лагранжевой задачи релаксации. Это эвристические процедуры решения попытки создать возможности решения задачи P на каждой итерации субградиентный алгоритм оптимизации. Лучшие возможные решения сохраняется при завершении работы алгоритма.

В этом эвристические процедуры решения, множество открытых складов, которые получаются в результате решения вспомогательной LR использованием субградиентный метод оптимизации рассматриваются. В каждой итерации субградиентного схемы, решение подзадачи LR даст нам р склады должен быть открыт. Для получения возможности решения задачи P, необходимо завершить задание набора продуктов на складах, с учетом потребительского спроса на эти несколько продуктов, не нарушая при этом возможностей ограничения, которые накладывает на складах. Возможные процедуры решения задачи P не будет автоматически доступна из решения лагранжевой задачи. Следующая процедура поможет найти возможные решения.

Процедура WARELOG

Шаг 1: Форма перечень складов-первых часть списка состоит из складских помещений, открытые решения на множество подзадач J (Z =), а второй комплект состоит из остальных потенциальных склады, которые являются закрытыми. Сортировать первый список в порядке возрастания их возможностей и называют его Wareopen. Call второй список Wareclosed чтобы указать, что список состоит из закрытых складах.

Шаг 2: Теперь добавьте все возможности складах, которые принадлежат к списку Wareopen. Если есть достаточный потенциал, чтобы удовлетворить все потребности клиентов. для нескольких продуктов, выполнять процедуры Feasassgn, иначе переходите к Шагу 3.

Шаг 3: Выберите первый элемент в Wareclosed. Проверьте свои возможности превышают возможности первого склада в Wareopen. Форма еще один список называется CapWclosed всех закрытых складов, пропускная способность которых больше или равна потенциала первого склада в Wareopen.

Шаг 4: Сортировка элементов CapWclosed в порядке возрастания функции издержек и спроса следующим образом:

Шаг 5: Хотя мы не располагаем достаточным потенциалом для удовлетворения всех требований клиентов (и, хотя мы не имеем возможности решения), то есть две возможности:

Выбор: Заменить первый склад в Wareopen с первого склада в CapWclosed. Перейдите к шагу 1.

Выбор B: Мы можем иметь ситуацию, в которой CapWclosed список пуст, и мы по-прежнему не располагают достаточным потенциалом для удовлетворения всех требований клиентов. Мы застряли в невозможным решение.

Процедура Feasassgn Шаг я: Форма списка клиентов: первая часть, состоящую из списка клиентов, которые были назначены открытые склады (например, склады, принадлежащие к Wareopen), расположенных в порядке убывания их требованию. Вторая часть состоит из оставшихся клиентов также расположены в порядке убывания их требованию.

Этап II: идти по этому списку выбора каждого клиента А, в свою очередь и предложения как можно больше требования клиентов к продукту я от самого дешевого склада, для которых х / не равен нулю, с учетом других клиентов, которые уже поставляется от J.

Этап III: Если потребительский спрос А за продукт я не полностью удовлетворен, а затем попробовать поставить клиента А от второго дешевый склад, а затем третий дешевый склад и т.д. В конце концов, если все склады, для которых X, JK не равна нулю будут исчерпаны, попытка поставить клиента А из оставшихся складов, для которых Xijk = 0.

Шаг IV: После того как все клиенты были поставлены, мы можем получить решение, которое является возможным. Затем обновите верхняя граница по проблеме соответственно.

ОЦЕНКА ПРОЦЕДУРЫ WARELOG

Эвристический было закодировано в Паскаль в качестве неотъемлемой части субградиентный алгоритм оптимизации. Серия вычислительных результатов проводилась на IBM RISC 6000 машины. Некоторые наборы были проблемы генерируются случайным образом, но систематически захватить широкий спектр проблема ресурсов. Многие проблемы, с той же структурой входных были решены в целях достижения разумного уровня доверия к производительности и проверка процедуры решения. Коэффициент затрат Cijk были получены от равномерного распределения между 0 и 200 единиц. Спрос требования были взяты из равномерного распределения между 10 и 99, и пространство, занимаемое продукции были взяты из равномерного распределения между 5 и 20 единиц. Фиксированные затраты на открытие склада и спрос на продукцию несколько варьировались в диапазоне значений представить реалистичный сценарий логистики проблемы. Общая стоимость объекта выставки экономики в масштабах типа вогнутой функцией стоимости объекта, в котором растут издержки на снижение скорости с возможностью пропускной способности (Баллу, 1984). В этом частично целочисленного программирования модели, стоимость функция аппроксимируется кусочно-линейная функция состоит из фиксированной части стоимости, чтобы открыть склады и переменной составляющей стоимости, включены в расчет Ки к ..

Оценки получены лагранжевой схемы отдыха и релаксации линейного программирования (ЛП) были сопоставлены и результаты представлены в таблице 1. Лагранжевой связаны четко производится гораздо более жесткие ограничения на оптимальные значения решением, чем границу, была достигнута с линейного программирования связаны. В самом деле, в таблице 1 приведены результаты некоторых случаях образца, в котором четко связаны лагранжевых перевешивают Л. связан с улучшением среднем в диапазоне от 2% до 39%. Кроме того, в последнем столбце таблицы 1 показывает среднее время процессора в секундах, касающиеся раз вычислений. Ясно, что можно было бы получить лагранжиан связан с гораздо меньшими машинного времени по сравнению с Л. связаны. Следует отметить, что, поскольку П. связано, безусловно, гораздо хуже, чем лагранжевых связаны, коммерческих пакетов целочисленного программирования на основе релаксации Л. обязаны принимать неприемлемых уровней машинного времени. Была сделана попытка решить проблемы с четырьмя продуктами, 50 точек клиентов, и 16 потенциальных площадок для склада за счет использования сравнительно эффективной математического программирования SCICONIC код (1985), и ни одна из проблем могут быть решены к оптимальности после 3000 процессора секунд. Однако лагранжиан связанных процедуры найти возможные решения менее чем за 92 сек ..

Результаты выполнения процедуры решения приведены в таблице 2. Разрыв между лучшими возможные решения и нижняя граница используется для оценки качества решений. Проблемы были решены более широкий диапазон значений для ряда продуктов (), количество клиентов зон (K), а число потенциальных склады (J). Потенциала складами, а также фиксированные затраты на открытых складов были изменены, чтобы захватить больше реализма по отношению к модели. Таблица 2 также показывает вычислительных раз в считанные секунды. Процедура решения свидетельствует о том, что проблема очень хорошо ведет себя с исключительно низким уровнем пробелов, что указывает на эффективность процедуры решения. Вычислительных раз были признаны достаточно стабильным. В дополнение к выше испытаний дальнейшие эксперименты проводились с целью проверки процедуры решения для различных значений параметров для фиксированных затрат открытых складов и емкости складов. Таблица 3 обеспечивает выполнение процедуры решения с изменениями в производственных мощностей.

Коэффициент использования производственных мощностей, которая определяется как общая площадь требует продукции общего пространства, доступного через открытые склады варьировались в различных значений в пределах от 0,45 до 0,90. В этой таблице фиксированной соотношение цены варьировались от 0,70 до 0,75. Следует отметить, из таблицы 3 видно, что проблема размер увеличился, разрыв остается очень низким, и решение раз имеет тенденцию к увеличению, но никогда не превышала 100 секунд.

Фиксированного соотношения расходов на проблемы также разнообразны. Фиксированном соотношении стоимость определяется как сумма фиксированных расходов, понесенных путем проведения открытого складов возможным стоимость решения в области логистики проблемы. Таблица 4 обеспечивает выполнение процедуры решения с изменениями в определенном соотношении затрат. Соотношение колебалось от 0,31 до 0,86. Пробелов остается очень низким, и решение раз имеет тенденцию к увеличению как соотношение увеличилось, но никогда не превышала 100 секунд. Кроме того, как отношение стоимости фиксированного уменьшилось, вычислительной раз и пробелов остается очень низким. Для этого эксперимента коэффициент использования производственных мощностей был установлен на 70%, а соотношение цены и фиксированной варьировали изучить эффективность процедуры решения.

Эти вычислительные эксперименты показывают, что предлагаемая процедура решения постоянно производил "хорошие" и "эффективные" решения, а также вычислительные раз были в пределах допустимых норм. Это логистической модели наряду с решением процедура может стать эффективным инструментом поддержки принятия решений при проектировании распределенной сети стратегических задач проектирования до определения места расположения склада и типа инвентаризации продукции помещается в каждом из складов.

Управленческих последствий МОДЕЛЬ

Как уже говорилось выше, сила логистической модели представлены в данном документе является то, что она может стать эффективным инструментом поддержки принятия решений при проектировании распределенной сети стратегических проблем проектирования. Спрос сетей, которые состоят из 50 основных зон клиента, 4 основных групп продуктов и 16 дистрибьюторских центров, которые были представлены в таблице 2, представляют собой реальную компаний, таких размеров. Автор имел возможность изучить текущие операции одним из основных потребителей компании упакованных товаров, которые производит несколько продуктов. Такие компании, как это приходится иметь дело с по крайней мере два вида затрат: постоянные издержки, чтобы открыть склады и переменных затрат (сочетание входящие, исходящие, и расходы на обработку) распространение продукции. Они имеют распределительные центры распространились по всей стране. В компании работают здесь учился, нынешний порядок распределения продуктов не было эффективным как с точки зрения скорости и точности.

Решения о создании таких организаций касается определения места для складов и разработки стратегии распространения различных продуктов из открытых складов для клиентов отделений. Очень обнадеживающие результаты получены в условиях разрыва, и решение раз были признаны достаточно стабильным. Типичные размеры есть проблемы представляют собой очень большие смешанные программы целое с более чем 5000 переменных. Смешанная модель целочисленного программирования и содержит более 10000 функциональными ограничениями. Тем не менее, эвристический удалось найти решения в течение нескольких секунд, которые были бы практически невозможны при стандартных кодов целочисленного программирования. Разработка таких систем распределения долгосрочной задачей, которая входит в сферу стратегических решений.

Некоторые идеи могут быть получены от модели и эвристические решения. Предложенная модель складской логистики обеспечивает средства, с помощью которых можно прогнозировать производительность компании по отношению к себестоимости продукции и издержек обращения, а также разработать стратегию распространения различных продуктов, чтобы удовлетворить запросы клиентов. Важной составляющей поставок фирмы является расположение складов и распределение клиентам открыть склады. Предлагаемая модель признает, что фирма может участвовать в различных распределения мероприятий, которые различаются в их характере спроса, стандарты обслуживания клиентов, и структуры расходов. Кроме того, нецелесообразно для определения стратегии распределения для каждого продукта в отдельности. Таким образом, важно одновременно определить местоположение складов и стратегии распространения многочисленных изделий из этих открытых складов клиентов торговых точек.

Еще одним важным понимание получила была необходимость порой удовлетворить спрос клиентов зоны для продукта с более чем один склад. Хотя это создает проблемы с координацией, отмечено достоверное снижение распределения расходов. Эвристические процедуры и получить эффективные решения для модели. Преимущество в скорости получения эффективных решений был очень привлекательным.

Модель расширения: Одна против нескольких Sourcing

Принять решение об определении для задачи распределения проект, предложенный в настоящей работе необходимы два ключевых решения: географические решения для выбора необходимого количества складов быть открытой и эффективной стратегии распространения множеством продуктов capacitated складов в различных зонах клиента. Предложенная модель включает в себя эффект от отбывания конкретного продукта для клиента зоны из более чем один склад, так как распределение переменных непрерывны. Тем не менее, менеджер может вы хотите ограничить доставку клиенту зоне происходят из одного склада. Такое требование будет вводить ограничения на бинарных распределения переменных. Эвристические процедуры решения предусматривается в случае, когда поставки для клиентов должны прийти только из одного склада (одного источника). Процедура может быть использована в сочетании с лагранжианом процедуры.

Эвристический CAPWARE

Шаг: Рассмотрим множество открытых складов и множество клиентов, которые еще не были назначены на эти склады. Первый расчет штрафа не присвоения клиенту А на дешевый склад для продуктов I.

Шаг б взять отношение казнь спроса требования клиента к продукту I. Это соотношение весит казни присвоения клиенту А на втором дешевых доступных склада вместимостью использования склада.

Шаг C: клиенту самый высокий показатель присваивается дешевый склад для удовлетворения его спроса на этот продукт. Сброс неназначенный клиентов и имеющихся возможностей склада.

Действие D: Повторите предыдущий шаг, пока мы не удовлетворенный спрос для всех клиентов.

CAPWARE производительности

Для того чтобы продемонстрировать выполнение CAPWARE, это эвристический было включено в процедуру возможные решения. Выполнение эвристических CAPWARE сравнивали с исполнением WARELOG эвристический как с точки зрения эффективности решения (пробел) и времени решения (CPU). Как и ожидалось, эвристический WARELOG превысил CAPWARE эвристический в обеих категориях. Недостатков, определяется с помощью эвристического CAPWARE для задачи с 50 клиентов точек, 4 основных групп продуктов, а также 25 складов было не менее 5 раз больше, и решение было время не менее 7 раз больше по сравнению с исполнением WARELOG процедуры. Размеры таких проблем, сообщили содержать более 5000 решений переменных и 10200 ограничений. Тем не менее, практикующий в настоящее время две различные процедуры, которые могут быть использованы для исследования компромиссы в нескольких против одного источников, прежде чем выбирать "идеальной" стратегии.

РЕЗЮМЕ И ВЫВОДЫ

В данной работе распределительной сети стратегической проблемой, конструкция представлена. Смешанная модель целочисленного программирования задачи складской логистики для минимизации общих затрат распределения. Лагранжевой релаксации модель используется и эвристические процедуры решения производить эффективную процедуру решения задачи предоставляется. Одна из основных заслуг этого исследования демонстрирует большие возможности масштабе рамок и проверяет ее потенциальные преимущества в отрасли цепочки поставок. Модели и эвристические процедуры сообщили в настоящем документе выявить ряд вопросов, представляющих интерес для обеих практиков и исследователей. Результаты расчетов по широкому кругу проблем, как сообщается, и эти результаты показывают, что возможные процедуры решения последовательно обеспечивает стабильные решения этой проблемы. Кроме того, эвристический хорошо работает как с точки зрения приближения к оптимальности и решение раз независимо от проблемы строения. [В редакцию: 8 апреля 1996. Принято редколлегией: 3 марта 1997.]

* Автор выражает признательность ценные замечания и внимательное критику рецензентов. Их замечания привели к существенному повышению содержания и ясности бумаги.

Ссылки

Akinc, У. (1985). Multi-активности дизайн объекта и местоположение проблем. Управление науки, 31 (3), 275-281.

Балл, Р. H. (1984). Оценки и аудита общий уровень запасов на многих

образца точки чулок. Журнал операционного менеджмента, 5 (1), 75-90. Bazaraa, М. С.,

Бисли, Е. J. (1993). Лагранжа эвристики для задач размещения. Европейский журнал исследования операций, 65, 383-399.

Браун, Г. Г., Грейвс, Г. В.,

Христофидес, N.,

Дэвис, П. С.,

Фишер, М. (1981). Лагранжева метода релаксации для решения задач целочисленного программирования. Управление науки, 27 (1), 1-18.

Gavish, B. (1978). О получении "лучшего" множителей Лагранжа релаксации для целочисленного программирования. Компьютеры и исследование операций, 5, 55-71. Geoffrion, А. М.,

Klincewicz, J. Г.,

Куэн, А. А.,

Наасс, Р. М. (1978). Улучшенный алгоритм capacitated задачи размещения объекта. Журнал оперативной общества исследований, 29, 1195-1202. Neebe А.,

Pirkul, H.,

Pirkul, H.,

Vaidyanathan Джаяраман

Колледж бизнеса и экономики, Университет штата Вашингтон, Ванкувер, WA 98686-9600, адрес электронной почты: <a href="mailto:jayarama@vancouver.wsu.edu"> jayarama@vancouver.wsu.edu </ A>

Vaidy Джаяраман учит операций и управления цепями поставок в Университете штата Вашингтон, где он является преподавателем в колледже бизнеса и экономики. До прихода в Университет штата Вашингтон, он был преподавателем в колледже бизнеса при Университете Южной Миссисипи. Он получил степень бакалавра в области прикладной математики в Университете Мадраса, Индия, магистра по математической науки и степень МВА в Университете г. Акрон, штат Огайо, и кандидатскую степень в Университете штата Огайо. Д-р Джаяраман документы имеют появились в Европейском журнале оперативных исследований, Международный журнал операций и управления производством, Компьютеры