Chainwise парных сравнений

РЕЗЮМЕ

Попарно метод сравнения строительный блок процесс аналитической иерархии (AHP), которая была широко используется для анализа многокритериальных решений. Эта статья развивает ярлык техника, в которой только п парных сравнений формирования замкнутой цепи, необходимых для п элементов решения. Вместе с развитием простым и интуитивно понятным меры (в) соответствие, этот метод получает относительную массу элементов решения по легкой расчетов шаг за шагом на табличном формате. Ее производительность была протестирована на богатство Саати в наций пример. Важно заметить, что рейтинг и вес дали от этого варианта техники являются идентичными неполных парных решение сравнению Харкер за тот же ориентации цепи на примере тестирования. Предметные области: AHP Мера последовательность, и многокритериальная принятие решений.

ВВЕДЕНИЕ

Попарно метод сравнения является полезным инструментом для оценки решения элементов количественного субъективных суждений. Он используется для получения относительного веса решения элементов и мер в непоследовательности в решениях, где лица, принимающие решения сосредоточить внимание на паре два решения элементов одновременно. Этот метод строительный блок аналитической иерархии процессов (AHP) (Дайер, 1990; Харкер

Попарно метод сравнения, однако, является длительным процессом, для большого числа элементов решения. Например, 45 парных сравнений, необходимых для 10 элементов решения, и для 20 190 элементов, по правилу п (п - 1) / 2 парных сравнений для п элементов. Увеличение парных сравнений имеет особое значение для крупных иерархий. Предположим, мы имеем дело с иерархией, состоящей из 5 уровней, где каждый уровень, за исключением верхней части имеются 10 элементов и имеет один верхний элемент. Тогда в общей сложности 1395 парных сравнений, необходимые для получения окончательного решения. Лица, принимающие решения могут потерять интерес к парных сравнений из-за такого большого числа сравнений. Харкер (1987A, 1987b) разработала метод оценки веса и последовательность, когда меньше, чем п (п - 1) / 2 парных сравнений. Метод неполной попарно Харкера Сравнение основывается на традиционном подходе собственный вектор.

Эта статья развивает альтернативную технику контекстном требуется только п парных сравнений и использование среднего геометрического подхода (Барзилай, Кука,

Разработка метода

Метод сравнения chainwise нужно только п парных сравнений формирования замкнутой цепи, как показано на втором столбце таблицы 1. Хотя только (п - 1) сравнений, необходимых для получения решения, цепи / Цикл закрыт с п сравнению с тем чтобы последовательность быть легко проверены. В таблице 1, R ^ ^ я к югу обозначает отношение го элемента (вес W ^ ^ я к югу), чтобы его преемник, что:

Таблица 1 содержит краткую информацию о chainwise расчетов сравнения. Нормированных относительных весов, V ^ ^ я к югу от решения элементы легко получить при разработке колонке расчетов, слева направо. Эти расчеты начинаются с прямого значения решения в третьей колонке, D ^ ^ я к югу, которые выражаются, принимающего решение. Далее, косвенные значения решения, I ^ ^ я к югу, в четвертом столбце определяются с помощью (3). 2 значения решения объединены в пятой колонке, R ^ югу я ^ *, используя (4). В шестой колонке, относительных весов элементов решения, M ^ ^ я к югу, исчисляется в порядке убывания от (п - 1) в первом элемент, используя (5). Последний столбец содержит нормированные веса, V ^ ^ я к югу, рассчитанные с использованием (6). Таблица 2 показывает пример chainwise метод сравнения для оценки 6 элементов.

МЕРА последовательности

Для определения степени приемлемых кардинальное противоречие, моделирование эксперимент был проведен с использованием 5000 случайных множеств решений для п = 3 до 20. Парные сравнения коэффициентов для каждого п были получены от равномерного распределения AHP 1-9 дискретных масштаба [1 / 9, 1 / 8, ..., 1 / 2, 1, 2, ..., 8, 9 , каждое с вероятностью 1 / 18, за исключением 1, с 2 / 18 вероятности. Все LOC (уровень согласованности) распределений при п = 3 до 20 лучше всего подходит бета распределения р-значения 76,3%, и все ординально противоречивыми LOC

СОГЛАШЕНИЕ TEST

Вот, давайте протестируем согласия chainwise сравнений Саати богатства наций в примере (Саати, 1980, p. 40), а воспроизводятся в таблице 4. Саати утверждает, что богатство влияние Китая значительно меньше по сравнению с другими шестью странами, что он не принадлежит в этом примере. Поэтому, чтобы сделать возможным итераций более управляемым, Китай был удален из рассмотрения, в результате чего шесть стран для сравнения: (1) США, (2) СССР, (3) Франция (4) Великобритания (5) Япония, и (6) Западной Германии. Индексов относятся к странам, поскольку они расположены в матрице. Матрицы Таблица 4 представляет собой парные сравнения богатства влияние между этими шестью странами. AHP 1-9 шкала была использована для измерения. Например, значение 4 в первом ряду колонны 2 показывает, что богатства между слабыми и сильными влияния в пользу США над СССР. В последних двух столбцах показывают результаты собственного и ряд среднее геометрическое для сравнительных целей.

Заметим, что сравнение в данном случае не вполне последовательны. Например, в США: СССР = 4, СССР: Франция = 5, но США: Франция = 6 (не 20). Фактического ВВП каждой страны на 1972 год, приведены в таблице 4, а по сравнению с богатством влияние коэффициентов, которые были взяты из оригинального произведения в Саати.

Относительных весов богатства влияния были рассчитаны методом chainwise сравнений и представлены в таблице 5. Лишь шесть элементов матрицы в таблице 4 были использованы, по одному для всех возможных направлений 60, (6 -1)! / 2 = 60, так что лица, принимающего решение может chainwise сравнить 6 стран. Число упорядоченных механизмов п элементов решения по кругу (п - 1)!, И в chainwise половины из этих сравнений (п-1)! приказал использовать механизмы обратных тех же соотношениях, используемых в их коллегами обратимо приказал договоренностей. Все 60 направлений и их результирующий рейтинг в списке. Они сгруппированы по первым порядковым последовательности, а затем сортируются по значениям LOC в порядке убывания. "Порядковый"? столбец содержит результаты визуального порядковый проверки целостности обсуждался ранее. "Y" указывает сравнение ординально последовательной и "N" указывает, что это не так. Пример Таблица 2 показывает, процедура получения оценки 123456 ориентации. Третий в последней строке снизу показывает средние значения для всех 60 chainwise ориентации. Жирный ряд значений свидетельствует о принятии предложил LOC уровне 88,9% на эту проблему с п = 6.

Собственный полный парного сравнения результаты отображаются в последней строке таблицы 5 и будет использоваться в качестве ориентира для определения соглашения chainwise сравнений. Последовательности соотношение собственного полного попарно подход 0,06, что свидетельствует о приемлемой для согласованности результатов, достигнутых в 10% правило обрезания в Саати. Различия между последними веса производства chainwise сравнения и из собственного полного парного сравнения измеряется в средней абсолютной ошибки (ПДВ) и среднего квадрата ошибки (MSE), как показано в последних двух колонках. Различия очень невелики, начиная с 0,00817 до 0,07700 в МАЭ и от 0,00008 до 0,01440 в MSE. Две ориентации, 136254 и 136425, дают максимальные отличия от собственного веса, а также различные рейтинги, но их уровень согласованности относительно высоким и составляет LOC = 95,3% и 94,7% соответственно. С другой стороны, минимальные различия дали от 132465 и 142365 ориентации. Они производятся же рейтинг, как собственный метод, но их уровень согласованности являются относительно низкими, как на LOC = 76,5%. Они хорошие примеры, показывающие, что последовательность внутренних решение не может гарантировать внешние соглашение с фактическими данными, и наоборот ..

Собственный полный попарно метод сравнения дали два возможных рейтингов, 125634 и 125643. Таким образом, последние две страны, (3) и Франция (4) Великобритания, имеют равное влияние на благосостояние других наций. 60 цепи ориентации производства 16 различных рейтингах, которые могут быть сгруппированы в дальнейшем 10 типов. Таблица 6 перечисляет их с их частоты. Есть только четыре случая, 12534_ (2) и 125 436 (2), в котором ранга позиция отличается более чем на 1 позицию от своей первоначальной позиции, 125634. На рисунке 3 показана гистограмма частоты каждой нации в положении ранга.

Таблица 7 классифицирует все 60 направлений в цепи комбинаций уровня согласованности и фактического рейтинга. Правильный ряды сохранились в 34 направлениях из 60 (57%). Если все ординально несовместимым ориентации устранены, то 23 направлений из 36 (64%) правильно выстроены в ряд. Основной причиной предвзятых рейтинга произошло то, что последовательность тест не является устранение всех случаях тяжелой кардинальные противоречия. Если более ограничительный характер последовательности ограничения были выбраны, предвзятое рейтинг может быть сведено к минимуму, но это будет означать, принимающего решение придется принять более тщательно в его или ее назначения парных значений сравнению отношение. Например, если LOC = 96% из них были отобраны для критического значения последовательности испытаний, то в данном случае только 10 из 60 случаев будет соответствовать, но все они будут правильно место (100%).

(1987b) Харкера неполных парных метод сравнения ставит сравнения решений в матрице же, как в полной попарно метод, но ответа решения вводятся как ноль (0). Значения диагональных элементов равны числу нерешенных судебных решений (число нулей) в соответствующей строке. Таблица 8 показывает пример богатства для ориентации 123456, который был использован в Таблице 2.

Было установлено, что все решения для собственного 60 цепи направлений выразили в матрицах, как и в таблице 8, производства идентичных веса получены через chainwise метода. Об этом свидетельствуют одинаковые значения в последней колонке таблицы 2 и 8. Саати в (1980, стр. 41) дистанционного оценки пример был разработан (см. Ра, 1994). Опять же, как chainwise подход и (1987b) Харкера неполных парных метод сравнения производства того же веса, применительно к тому же неполной матрицы п-chainwise сравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эвристический подход, представленный в настоящем документе, при условии основу для дальнейшего теоретического развития chainwise попарное сравнение подход к оценке веса и последовательность решения для сравнения элементов. Его легкий способ получения собственного же решения помогут лучше понять, математиков процесс собственного решения. Хотя любой цепи ориентации в реальных chainwise техника, лучшие цепи ориентации могут быть организации решения элементов в порядке убывания их веса воспринимается так, что первые (п - 1) прямое отношение было бы больше или равна 1,0, а последний го соотношения быть меньше или равна 1. Таким образом, порядковые последовательности, а также кардинальное последовательности могут систематически достигнута. Это порядке расположения поддерживается Carmone, Карского и Zanakis "(1997) неполной моделирование парных сравнений исследования для определения того, какие парных сравнений для выбора. Они обнаружили, что лучший эвристический подход является сохранение крупнейших к наименьшим весом, отношение, которое является последним го пара в нисходящем приказал chainwise сравнений.

Трудно в большинстве случаев для достижения идеальной согласованности с помощью интегральных ценностей и их обратные для 1-9 масштаба в Саати. Тем не менее, взвешенных мер прямого и косвенного отношения в этой технике покажет более подробную дробных значений. Принимающего решение может принять или изменить их в этом детальном масштабе. В таблице 5, последний ориентации, 125634 в точном порядке убывания. Его шесть прямых отношений и их продукта 4 * 3 * 2 * 3 * 1 * (1 / 6) = 12, а также ее соответствия уровня, к сожалению, очень низкий LOC = 66,1%. Приемлемые или даже совершенная последовательность может быть легко достигнут, выполнив одно из следующих действий: изменить отношение к шестому 1 / 72, регулируя отношения первых 5 будет меньше, или объединение двух указанных выше вариантов соответственно. Тем не менее, если мы сохраним использования ограниченных и дискретных 1-9 AHP в масштабе, 2 * 2 * 1 * 1 * (1 / 4) = 1 дает в лучшем случае окончательного набора веса, 0,4, 0,2, 0,1, 0,1, 0,1 и 0,1. Это приводит нас к делать дополнительные исследования по альтернативным весы соотношение таких как непрерывный и / или неограниченное них.

Эта статья является заключение о том, что chainwise сравнения могут занять место полное парных сравнений в АХП, особенно для больших задач. Это значительно сокращает количество парных сравнений с п (п - 1) / 2 до n. Учитывая определенный период времени, принимающие решения, могут обеспечить более разумного решения для меньшего числа парных сравнений. Кроме того, используя высокий уровень принятия LOC, принимающие решения, могут рассчитывать одинаковые результаты в полной мере парного рейтинга собственный, и даже очень близко веса. [В редакцию: 14 декабря 1995. Принято редколлегией: Июль 22,1998.]

Ссылки

Bazilai, J., Кука, В. Д.,

Carmone, F. J., Карского, А.,

Дайер, J. С. (1990). Уточнение `Замечания анализа иерархий. Управление науки, 36 (3), 274-275.

Харкер, П. Т. (1987A). Альтернативные методы допроса в аналитической иерархии. Математическое моделирование, 9 (3-5), 353-360.

Харкер, П. Т. (1987b). Неполные парных сравнений в аналитической иерархии. Математическое моделирование, 9 (11), 837-848.

Харкер, П. Т.,

Lootsma, Ф. А. (1996). Модель относительной важности критериев в мультипликативный AHP и SMART. Европейский журнал исследования операций, 94 (3), 467-476.

Ra, J. В. (1991). Иерархическая процесс принятия решений. Труды Портленд Международная конференция по технике и технологии, Портленд, штат Орегон, 595599.

Ra, J. В. (1994). Chainwise парных сравнений-сокращенный вариант парных сравнений. Труды Первой Международной конференции по IEMS, какао-Бич, штат Флорида, 381-386.

Саати, Т. Л. (1980). Анализа иерархий. Нью-Йорк: McGraw-Hill.

Саати, Т. Л. (1990). Экспозиция AHP в ответ на бумаге `Замечания по аналитической иерархии. Управление науки, 36 (3), 259-268.

Саати, Т. Л.,

ВС, S., Хоффман Д.,

Triantaphyllou Е., Lootsma Ф. А. Pardalos, ТЧ, постоянного Манн, SH (1994). На оценки и применения различных масштабов количественного парных сравнений в теории нечетких множеств. Журнал Multi-Criteria Decision Analysis, 26 (3), 133-155.

Zanakis, S., Mandakovic, T., Gupta, S., Сахай, S.,

Чан В. Ra

Машиностроение

Университет Аляски, Анкоридж, Анкоридж 99508, адрес электронной почты: <a href="mailto:afjwr@uaa.alaska.edu"> afjwr@uaa.alaska.edu </ A>

В. Чан Ка доцент и руководитель инженерного