Количественное сравнение приближенного решения множества проблем Bi-критерии оптимизации *
РЕЗЮМЕ
Мы представляем Комплексной Предпочтение функциональные характеристики (ОПЗ) для сравнения качества предлагаемых наборов почти Парето-оптимальных решений для двух критериев оптимизации. Оценка качества таких наборов решение является одним из ключевых вопросов разработки и сравнения эвристики для нескольких целей задач комбинаторной оптимизации. ОПЗ представляет собой набор функциональных, что с учетом удельного веса функция, предоставляемая принимает решения, а дискретный набор решений для конкретной проблемы, присваивает числовое значение, что множества решений. Это значение может быть использован для сравнения качества различных множеств решений, и поэтому обеспечивает надежную, количественный подход для сравнения различных эвристических, апостериорной решения для сложных процедур несколько объективных проблем оптимизации. Мы предоставляем конкретные примеры решения функции создателя предпочтения и иллюстрации расчета результате ОПЗ для конкретных наборов решения и простой семьи комбинированных задач.
Предметные области: оценка качества приближенных множеств решений, множественные критерии принятия решений, а также несколько Цель Metaheuristics.
ВВЕДЕНИЕ
Многие решения реальных проблем надлежащим моделируется как несколько объективных проблем оптимизации. Например, в планирование заданий, найти последовательность, которая минимизирует makespan, сумма времени завершения, а общее взвешенное опоздания полученного графика можно смоделировать в виде многочисленных цель задачи оптимизации. Проблемы такого рода (например, множественные цели комбинаторной оптимизации) становятся все более популярными в современной литературе, хотя единой цели версии этих проблем хорошо изучены (например, Пинедо, 1995, дается обзор многих проблем в планировании). Иллюстрация ряд таких проблем и типы критериев, которые могут быть использованы, можно найти в Steuer (1986, с. 2-3). Области применения таких проблем, разнообразны: машина планирования, планирования производства, потоки в сетях, контейнеровозов погрузки, медсестра планирования, распределения радиологического работника, и многие другие попадают в районе многочисленных цели оптимизации. В литературе, науке управления, применения включают отбор поставщиков (например, Roodhooft
Одна из тенденций в области исследований в различных целях оптимизации, особенно в отношении проблем, которые NP-трудный для каждой отдельной цели, заключается в разработке алгоритмов приближенного решения с использованием различных metaheuristics таких как эволюционный (генетических) алгоритмов, моделирования отжига, поиск с запретами, и так далее. Коэльо Коэльо (1999) ведет веб-сайт, в котором более чем 100 журнальных статей и более 400 документов конференции, занимающихся несколькими цель эвристика списке (см. раздел <A HREF = "http://www.jeo.org/emo/" целевых = "_blank" относительной = "NOFOLLOW"> http://www.jeo.org/emo/ </ A>). Большинство таких эвристика апостериорного подходов решения, которые направлены на создание хорошим приближением для всех или подмножества (например, поддерживаемые решения только) решений в эффективной границы (Коэльо Коэльо, 1999). Принимающего решение, то неявно сравнивает утилиты, предоставленной каждого из решений и выбор наиболее предпочтительного решения одного из множества. Этот подход широко применяется, поскольку она не требует субъективности, принимающих решения в ходе процедуры решения (Эванс, 1984; Розенталь, 1985).
Одним из важных (и нерешенные) проблемы апостериорного эвристики, как это указано в Коэльо Коэльо (1999) и Эрготта и Gandibleux (2000), состоит в том, чтобы сравнить эффективность этих различных многочисленные цели metaheuristics справедливо. Выполнение апостериорной эвристический могут быть оценены в двух основных направлениях. Один подход заключается в алгоритмах запуска конкурентоспособной на то же количество вычислительных усилий (процессорного времени или количество оценок), а затем сравнить качество решений. Другой подход заключается в запустить каждый алгоритм собственной критерий остановки, а затем сравнить как качество решения и вычислительных усилий (Шафер, 1985). В обоих случаях, однако, эффективные методы для сравнения качества множеств решений не требуется. Кроме того, как Хансен и Jaszkiewicz (1998) показывают, количественные показатели могут быть использованы для "настройки" различных параметров и определения критериев остановки, основанные на решении качества в стохастических методов оптимизации. Наконец, такие меры могут быть использованы для отслеживания улучшение качества решения приближении множество.
Более 20 количественных мер, разработанных для этой цели можно разделить на три основные группы (см. "Меры в литературе" ниже). Среди них, мы заинтересованы в третью группу о мерах, которые используют частичную информацию о функции выигрыша принимающего решения. Основная концепция мер в этой группе является то, что решение задним подход, принимающий решения в конечном итоге выбирает наиболее предпочтительный единого решения среди множества недоминируемых решений. Для имитации этого процесса принятия решения, форма стоимости, функции принимающего решения предполагается, хотя конкретные параметры (например, весовой вектор) неизвестны. Неопределенность в весовой вектор принимающего решения представлена через функцию плотности. Ожидаемой полезности (по отношению к этой функции плотности предпочтения) рассчитывается для каждого набора приближенных решений стадии рассмотрения, и приближение комплекте с лучшим ожидаемой полезности определяется победитель. Смысл этого в том, что окончательное решение одного выбранного, принимающего решение, скорее всего, можно найти в множестве решений с более ожидаемой полезности. Меры в этой группе предложить Монте-Карло для получения оценки ожидаемой полезности приближения множеств ..
В этой статье мы вводим новую меру называют интегрированной функции предпочтения (ОПЗ), который является в некотором смысле похожи на существующие ожидаемых мер полезности. Тем не менее, мы предлагаем аналитический метод получения точных ожидаемой полезности, когда параметризованные комбинированных целевой функции взвешенных аддитивной функции двух критериев проблем. Мы также предлагаем некоторые интуитивно желаемых свойств ОПЗ через численные примеры. Кроме того, иллюстрация нашего измерять температуру с помощью частичной информации, предпочтения, принимающему решение (т. е. функция объемного веса, весовой диапазон объективных, или приоритетных целей) предоставляется.
В разделе "Меры в литературе", в мерах, которые ранее использовались в литературе рассматриваются. Формализация нашего подхода, свойства нашего мера, способ получения ОПЗ в функции значения упомянутых выше, а также применение ОПЗ с помощью частичной информации предпочтение, принимающих решения, приводится в разделе, посвященном ОПЗ. В "Численные примеры", в 3 численного приводятся примеры. Наконец, в последнем разделе, мы предоставляем выводы и обсудить некоторые вопросы, которые требуют дальнейшего исследования.
МЕРЫ ПО ЛИТЕРАТУРЕ
В этом разделе мы рассмотрим меры, используемые для оценки качества аппроксимации множества порожденных апостериорной эвристики. Меры для этого приведены в таблице 1. Насколько нам известно, не существует стандартных рамок (или набор наиболее часто применяемых мер) для справедливого сравнения эвристики, хотя более 20 мер были использованы в литературе.
Меры, разработанные для этой цели могут быть подразделены на три группы. Первая группа стремится оценить (или оценка) качества приближенного решения устанавливается исходя из желательных признаков приближения множеств. Хорошим приближением правило, состоит из множества различных решений, которые равномерно распределены по эффективной границы, и которые также близки к эффективной границе. Кроме того, в комплекте с увеличением числа решений (то есть больше мощности) предпочтительнее набора с меньшим количеством решений, если оба набора создаются с одинаковым количеством вычислительных усилий. Различных и равномерно распределенное решение установлены с достаточной точки решение может дать ответ на компромиссы между целями для принятия решений. Более того, когда эвристики включают стохастический характер (например, случайных чисел используются в ее поисковый механизм), "меньше разница" между выходом дубликатов на тот же экземпляр проблема лучшего. На рисунке 1 показаны первые три атрибуты для минимизации две цели. В каждой графе 1 множества решений явно лучше, чем множество решений 2 с точки зрения указанного имущества.
Тем не менее, Есть трудности, связанные с применением мер в этой первой группы. Во-первых, разными исследователями определения желательных атрибутов, по-разному (см. таблицу 1). Так, например, желаемое число решений (мощности) в наборе четко не определены в литературе очень мало решений может быть бедным в обеспечении компромисса отношении решения, и слишком многие решения могут подавить, принимающих решения при оценке каждое решение, чтобы выбрать окончательного решения. Трудно определить надлежащее мощности приближении без учета множества способ такой системы, используемые в процессе принятия решений. Во-вторых, никакие меры в этой группе может быть использован самостоятельно, это легко построить, для каждой из этих мер, "оптимального вида" Например, для которых другие меры страшного. Таким образом, для оценки качества приближения множеств с помощью этих желательных атрибутов, нескольких цель проблема должна быть решена. Однако, когда критерии противоречат друг другу (например, когда один набор лучше в смысле расстояния, а другой набор лучше в смысле разнообразия), определения победителя непросто, как можно видеть в Фонсека и Флемминга (1996). В Esbensen и Кух (1996), комбинированные функции этих критериев также не обеспечивают желаемого результата сравнения.
Вторая группа мер направлена на приближение оценки наборы, основанные на "множество Парето доминирования" связь, которая приведена ниже.
На рисунке 2, графы с 1 по 4 примеры множества Парето господство соотношение где множество ^ ^ р SUP доминирует множество В ^ ^ SUP р.
На рисунке 2, графы 5 и 6 иллюстрируют недоминируемыми отношении набора между заданным р ^ зир и B ^ ^ SUP р.
Ясно, что если множество доминирует другой набор или наборы из множества смысле господства Парето, нет необходимости рассматривать другие атрибуты для сравнения множеств решений. Тем не менее, в большинстве случаев, конкурирующие наборы в отношении недоминируемыми, который делает сравнение нетривиально.
Есть пять мер в этой второй группы (см. Таблицу 1). Визуальное сравнение является одним из наиболее часто применяемых методов в литературе, так как все желаемые атрибуты могут быть оценены одновременно, даже если речь идет человеческой субъективности. Одним из важных недостаток визуального сравнения, однако, является то, что она может быть использована только надлежащим образом в двух случаях критериев, которые могут быть изображены в 2-мерном пространстве цели. Кроме того, визуальное сравнение может быть практически невозможным, когда большое количество вычислительных испытания, необходимые для доказательства превосходства приближенных вычислений.
Среди этой второй группы, мы можем также содержать перечень мероприятий, которые используют геометрические свойства множеств решений. Де и др.. (1992) использовать площадь и длину около поддержку решений. Авторы полагают, что обе конечные точки (индивидуальных оптимальных решений) приближении множества совпадают с эффективной границы. Опять же, эти меры могут быть использованы только в двух случаях критериев и не рассчитывать на nonsupported решения в приближении набор в оценке качества решения. Zitzler и Тиле (1998) использовал размер доминирующее место множества и разница размеров доминируют пространстве двух множеств. Эта мера может оценить качество приближения без знания эффективной границы. Кроме того, эта мера представляется оценить разнообразие и близость одновременно. Тем не менее, в минимизации проблем, предположения познания надир точки эффективной границы, которые часто трудно получить, необходима для получения размера доминирующее место должным образом. Шаффер (1985) предложил меру, которая называется ряд комбинированных примерно Парето-оптимальных решений (
Затем ряд приближенных решений, найденных каждого алгоритма определяется. Мощность и соотношение
Третья группа мер оценивает качество множеств решений на основе их вклада в процесс принятия решений. Основная предпосылка этих мер является то, что в ряду конкурирующих множеств решений, установлено, что, скорее всего, содержат окончательного единого решения (по выбору принимающих решения) определяется как лучше множества решений. Методы предполагают, что все решения в комплекте предоставляются принимающего решение последовательно или одновременно и использовать частичную информацию о функции выигрыша принимающего решения. Например, даже несмотря на то вес каждой из задач не может быть известно, можно предположить, что значение функции взвешенных аддитивной функцией цели. Дэниелс (1992), Esbensen и Кух (1996), и Хансен и Jaszkiewicz (1998), впервые применение мер в этой группе. Тем не менее, метод, предложенный Дэниелс (1992) не применяется, если эффективное границы нет. Методы, предложенные Esbensen и Кух (1996) и Хансен и Jaszkiewicz (1998), с другой стороны, могут быть использованы при эффективной границе, не известно. Тем не менее, чем точная схема расчета, оценка методом Монте-Карло ожидаемой полезности (дискретные число векторов веса генерируются случайным образом в соответствии с Предполагается, функция плотности вероятности) был использован в обоих методах, которые явно связаны ошибки выборки (например, весовой вектор , для которых решение является оптимальным, не может производиться отбор проб при расчете ожидаемой величины приближения множества) ..
Три других видов мер, которые направлены на различные аспекты апостериорной эвристики, можно найти в литературе. Фонсека и Флеминг (1996) предлагается количественный непараметрических интерпретации статистических выполнения стохастических многочисленные цели оптимизаторы. Laurnanns, Рудольф, и Schwefel (1999) предложил меры (получения информации), чтобы проследить за улучшение качества решения (конвергенции). Jaszkiewicz (2000) предложил метод сравнения (эффективность индексу) вычислительных эффективности эвристики апостериорной по сравнению с одной целью metaheuristics использоваться в интерактивном режиме.
КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ PREFERENCE: ОПЗ
В этом разделе мы предлагаем оформление нашего подхода и метода расчета комплексной предпочтение функциональной (ОПЗ) для представителя значение функции: взвешенная аддитивная функция значение для двух критериев проблем. Затем мы обсудим желаемых свойств ОПЗ и, наконец, показать, что ОПЗ может быть легко применяться при неполной информации о весе, принимающих решения для разных целей не используется. Во всей этой работе мы предполагаем, что все цели были превращены должно быть минимизировано.
Формализация ОПЗ Мера
Для нескольких объективных проблем оптимизации стоимости (полезности) функциональный подход часто используется для объединить различных целевых функций в один скалярная функция входов. Это в сочетании цель может быть представлена в виде параметризованных семейство функций г (х, [] альфа), где при заданном значении параметра вектор в своей области представляет собой конкретный скалярной целью свести к минимуму. В 2-объектный падеж] альфа [скалярная между нулем и единицей, в случае выпуклой комбинации целей.
Последняя форма уравнения показывает, что мы только должны быть в состоянии оценить интегралов ч ([А]), и поэтому форму объективной сами функции не имеет значения. Кроме того, эта мера ОПЗ предлагаемые в настоящем документе не принимает никаких отдельных структур предпочтений лица, принимающего решение во внимание, и, следовательно, может рассматриваться как общий. Конечно, основные трудности, во всем этом являются вычисления соответствующих районах, над которыми х ^ ^ г югу кусочно постоянна и вычисления интегралов в уравнении (2). Эти трудности зависят от вида функции г, функции ч, а ряд задач рассматривается.
Вес Плотность Функция Н ([А])
Как отмечалось ранее, единственным требованием для расчета ОПЗ является то, что ч ([] альфа) будет интегрируемой на [] альфа. Эта функция удельного веса могут быть интерпретированы как probabilty предпочтения принимающего решения для веса каждой цели. Например, если ЛПР не имеет конкретных предпочтений, то Н ([] альфа) можно смоделировать в виде единой функции плотности, как показано на рисунке 3 (а). Во многих случаях решение может хочу, чтобы придать больший вес и с ослабленным решения (т. е. решения, находится на середине или локоть частью компромисса поверхности), чем крайние варианты (т. е. решения, расположенных вблизи каждого оптимумы). Это могут быть смоделированы с треугольной функцией плотности, как показано на рисунке 3 (б).
Свойства ОПЗ Приближение Установить
Некоторые свойства ОПЗ, которые интуитивно желательным для оценки качества решения множества, приведены ниже. Как видно из уравнения (1), МГЛ рассматривает только лучшие решения от приближения, установленных для всего региона веса.
Теорема 1
(МГЛ и множеству Парето господство связи): Если установлен 1 доминирует набор 2 в комплекте смысле господства Парето, то стоимость ОПЗ в комплект 2 меньше или равна стоимости ОПЗ набор 1 для любой положительной весовой функцией ч.
Равенство может произойти, если добавка скалярная функция используется. Если два множества имеют одинаковую поддержку решений и различных nonsupported решений, то ОПЗ обоих комплектов одинаковы. Это явно недостаток в сравнении приближенного решения множества использованием скалярной функцией взвешенной суммы линейных задач. Однако это ограничение можно снять с помощью невыпуклых скалярные функции. Теорема 1 вытекает следствие.
Следствие 1
(МГЛ эффективной границы и приближении набор): ОПЗ эффективной границы всегда меньше или равна ОПЗ приближении набор эффективных границе в задаче минимизации.
Доказательство
Доказательство этого свойства прост. Эффективной границы всегда доминирует любом приближении набор в комплекте смысле господства Парето. Таким образом, следствие 1 имеет место из теоремы 1.
Следствие 1 вытекает, что ОПЗ может быть использована или нет эффективной границы не известно. При эффективной границы Известно, что отношение ОПЗ приближения множества больше, чем за эффективную границу или разницу ОПЗ могут быть использованы для оценки, насколько приближении набор от эффективной границы, как указано в Хансен и Jaszkiewicz (1998) .
Следствие 2
(МГЛ и мощность связи): Добавление новых недоминируемыми решение х до множества X не может увеличить стоимость ОПЗ множество (X х). Таким образом, МГЛ (X) монотонно не возрастает более возрастающие последовательности множеств решений.
Доказательство
Предположим, что добавленный решение х недоминируемыми среди существующих в множестве (X), и существует масса [А] ^ 1 ^ к югу (или вес региона), для которой х является оптимальным для данной функции g. ОПЗ множество (X) пропорциональна [Sigma] ^ югу [А] [элемент] ^ г (х, [] альфа), как указано в теореме 1. ОПЗ множество (X х) пропорциональна [Sigma] ^ югу [А] [элемент] \ [А] ^ 1 к югу ^ ^ г (х, [А]) г (х; [] альфа- ^ ^ 1 к югу). Очевидно, что г (х [элемент] (X х); [А] ^ 1 ^ к югу)
По следствию 2, ОПЗ может быть использована для отслеживания улучшение качества решения. В качестве меры (получения информации), предложенной др. Laurnanns и др. (1999), пусть все отдельные оптимумы (X ^ 10 ^ к югу) быть известны заранее, и МГЛ (X ^ 10 ^ к югу) обозначим ОПЗ отдельных оптимумов. При добавлении недоминируемыми решение х до множества (X ^ 10 ^ к югу) последовательно, ОПЗ множество (X ^ ^ 10 к югу х) будет монотонно не возрастает по следствию 2. Используя это свойство ОПЗ, сходимость приближении можно оценить (т. е. прирост ОПЗ, добавив решений идет на 0). Кроме того, чистый прирост МГЛ, добавляя новое решение для множества (X ^ 10 ^ к югу) содержится информация об улучшении качества решения, добавив решение приближении множество.
Масштабирование Цели
Для применения МГЛ меры в реальных задачах, правильное масштабирование по каждой цели не требуется. Когда цели считается несоизмеримы (например, количество рабочих мест запоздалым и общее время завершения), смешанные объективной ценности не могут быть истолкованы. Кроме того, когда разница между хребтами каждой задачи значение настолько велики, что одна объективная стоимость может быть признан недействительным по другим объективным значением, надлежащего масштабирование необходимые для смешивания различных целей в разумных скалярное значение. Schenkerman (1990) предложил, что надлежащее минимальные и максимальные цели в расширении значений недоминируемыми минимальных и идеальной точки приближения множество, соответственно, в задаче максимизации. Он также подчеркнул, что другие минимумов можно предотвратить, принимающему решение от достижения предпочтительного решения. Тот же метод масштабирования работает в "Аль-Де-др. (1992) в сравнении приближения множеств с площади и длины меры для сведения к минимуму проблемы. Как Гершон (1984) указал, масштабирование может быть мерой важности цели, и это влияет на вес считается.
Виды значение функции
Разнообразные функции были использованы в качестве значения принимающего решения функции, в том числе линейных аддитивных функций (выпуклая комбинация или взвешенной суммы р объективные значения функции), мультипликативных функций, нелинейных аддитивной функции (квадратичной, квадратный корень, L4-норме), а также полилинейных функций (см. Аксой, Батлер и Малой, 1996, за набор ссылок для использования каждой функции цены в сравнении интерактивные методы обучения). Лотфи, Юн и Zionts (1997) использовались линейные, квадратичные и взвешенной метрике Чебышева проверить свои многочисленные цели линейного программирования (MOLP) алгоритм. Среди них аддитивной форме и взвешенной Чебышева скалярных функций наиболее часто используются.
В двух критериев проблем, для каждого поддерживаемого точка имеет только две точки прилегающих поддержку, за исключением двух точек хвост. Таким образом, два линейных неравенств может быть получено из двух соседних поддержку точек. 2 линейных неравенств дать нижней и верхней границей оптимального интервала веса. 2 точки хвоста есть один прилегающих крайняя точка, которая дает оценку оптимального интервала веса. Других связанных 0 или 1, так как [А] Предполагается, что в (0, 1).
Вычислительной сложности шаги 2 и 3 в двух критериев проблемы O (м) каждая, и что из шага 1 O (N ^ ^ SUP 2), где т количество поддерживаемых решений и п число недоминируемыми решений. О (т) и O (N ^ ^ SUP 2) являются управляемыми полиномиальной функции, следовательно, вычислительные усилия для расчета ОПЗ в случае двух критериев является тривиальным.
МГЛ с частными Предпочтение Decision Maker Информационный
Как указано в разделе 2, различные виды удельного веса функций (например, обмундирование, треугольные и т. д.) могут быть включены в ОПЗ. Из-за этой особенности ОПЗ, кажется, больше подходит для сравнения руководствоваться несколькими metaheuristics цели (например, в Branke, Kaussler и Schmeck, 2000), по сравнению с другими мерами. То есть, руководствоваться поиск нескольких цель metaheuristics решений в регионе, принимающий решение заинтересовать Если предпочтение информации принимающего решения можно априори, руководствуясь несколькими цель обеспечить metaheuristics апостериорной эвристические, который использует эту информацию для руководства Поиск по отношению к области, которая может быть интересна для принимающего решение апостериори.
Численные примеры
Три численные примеры, которые дают интуиции МГЛ, представлены ниже:
Пример 1
Сравнение множеств приближенных решений с использованием ОПЗ со взвешенными аддитивной функции ценности и равномерной плотностью веса.
Как показано в примере 1, то ясно, что если множество приближении доминирует другой набор в комплекте смысле господства Парето, разность значений МГЛ два множества относительно велика. Однако, если два множества не доминируют друг с другом, это не так просто решить, какой из них предпочтительнее, принимающего решение даже визуальное сравнение, поскольку она зависит от предпочтений структуры принимающего решения.
Пример 2
ОПЗ со взвешенными аддитивной функции ценности и треугольные функции плотности.
На рисунке 5, два комплекта приближения по сравнению с использованием как единой плотностью веса (МГЛ-U) и треугольные функции плотности вес (МГЛ-T). Если два множества которые сравниваются с помощью единой плотностью веса, набор представлен круг символ имеет более низкую стоимость ОПЗ (0,288). С другой стороны, если два множества по сравнению с треугольной функцией плотности веса, набора отмечен тяжелых символ тире имеет более низкую стоимость ОПЗ (0,307). Это означает, что при принятии решения не заинтересован в хорошо угрозу решений (которые могут быть смоделированы как треугольные функции плотности веса), установлено, что включает в себя лучшие решения в области локтя и хуже решений в экстремальных областях будет иметь более низкий, чем ОПЗ Установлено, что включает в себя хуже, решения в области локтя и лучшие решения в каждом крайней области.
Пример 3
МГЛ с частичной информации, предпочтение по весу.
Выводы и будущие исследования
Многие апостериорной эвристики были разработаны для различных целей нескольких оптимизационных задач. Таким образом, за 20 различных количественных показателей для оценки качества аппроксимации множеств, порожденных такой эвристики можно найти в литературе. Тем не менее, до сих пор нет общепринятого показателя или стандартные рамки для сравнения качества решения таких heuritics. Учитывая последние широкое использование многоцелевых комбинаторной оптимизации моделей для принятия решений, необходимы дополнительные исследования усилий по теме оправдано.
В этой статье мы представили точные измерения (ОПЗ), чтобы оценить качество решения упором на процесс принятия решений. Мы использовали представитель значение функции взвешенных аддитивной функцией значения к имитации окончательного единой процедуры выбора решения, принимающего решение среди множества альтернативных недоминируемыми решений.
Даже несмотря на то предложил ОПЗ мера не может оценить все аспекты желательным приближение заданы явно, мы обнаружили, что она обеспечивает достаточно надежные результаты сравнения (см. Карлайл, Ким, Фаулер,
Мера ОПЗ интуитивно более привлекательным для принимающего решение, когда апостериорные эвристик применяются для решения реальных проблем. Хотя точное формулирование стоимость принимающего решения, как правило, очень трудно, тип значения функции, то есть аддитивных функций стоимости, как представляется, довольно разумным во многих проблем реального мира. Как правило, принимающего решение испытывает трудности в выборе веса значение для каждой задачи. Обеспечивая оптимальную веса (или области) для каждого недоминируемыми решение (которое является побочным продуктом расчета МГЛ), принимающего решение может научиться окончательного оптимального изменения решение, как его или ее вес для каждой цели различны.
Наиболее важные предположения о том, что ОПЗ предпочтениях, принимающих решения, может быть представлена в виде (выпуклые или невыпуклых), взвешенных аддитивная функция стоимости, которая может или не может быть правдой. Однако мы отмечаем, что наши общие рамки, применимые к общей формы стоимости функции, такие как функции Чебышева. Наши текущие исследования по разработке эффективных алгоритмов для расчета МГЛ этих общих случаях, а также для задач с более чем двумя целями. Одна из проблем, которую мы пытаемся преодолеть то, что вычислительные затраты как правило, значительно увеличить как количество целей увеличивается, в связи с неэффективностью вычислительных как в регионах нахождения оптимального веса и высокой интегрирование. [В редакцию: 4 ноября 2001. Принято: 23 декабря 2002.]
* Данный материал основан на работе при поддержке Национального научного фонда в рамках гранта нет. 0121815.
Ссылки
Аксой Ю., Батлер, Т. В.,
Branke, J., Kaussler, T.,
Карлайл, В. М. Ким, B., Фаулер, J. В.,
Коэльо Коэльо, К. А. (1999). Обновленный обзор эволюционных методов многокритериальной оптимизации: Современные и будущие тенденции. В 7999 Конгресс на эволюционных вычислениях. Washington, DC: IEEE сервисный центр, 3-13.
Czyzak П.,
Дэниелс, Р. Л. (1992). Аналитические оценки по множеству критериев эвристики. Управление науки, 38 (4), 501-513.
Де П., Гош, J. Б.,
Эрготта, М.,
Esbensen, H.,
Эванс, Г. В. (1984). Обзор методов для решения многокритериальной математической программы. Управление науки, 30 (11), 1268-1282.
Фонсека, К. М.,
Гершон, М. (1984). Роль весов и весов в области применения многоцелевого принятия решений. Европейский журнал исследования операций, 15, 244-250.
Хансен, П.,
Jaszkiewicz, A. (2000). На вычислительной эффективности нескольких цель metaheuristics. В Труды Четвертой Международной конференции по Multi-Цель программ и целевого программирования (MOPGP '00): теория и приложения, 29 мая-1 июня. Берлин-Heidelberg: Springer-Verlag.
Карсак, Е. Е. (2001). Подбор персонала использованием нечетких решение нескольких критериев принятия подхода, основанного на идеалах и анти-идеальное решение. У М. Koksalan
Карсак, Е. Е.,
Ким, B., гель, Е. С., Карлайл, В. М.,
Laurnanns, М., Рудольф Г.
Лотфи В., Юн, Ю. С.,
Murata, T, Ishibuchi, H.,
Пинедо, M. (1995). Планирование: теория, алгоритмы и системы. Аппер-Садл-Ривер, штат Нью-Джерси: Prentice Hall.
Roodhooft, F.,
Розенталь, Р. Е. (1985). Концепции, теории и методы: принципы многоцелевой оптимизации. Decision Sciences, 16, 133-152.
Шаффер, J. D. (1985). Многокритериальная оптимизация с векторной оценки генетических алгоритмов. Труды Первой международной конференции по генетические алгоритмы. Хилсдейл, NJ: Лоуренс Erlbaum Associates. 93-100.
Schenkerman, С. (1990). Относительная целевых функций в многокритериальных моделей поддержки принятия решений. Decision Sciences, 21, 727-737.
Schott, J. R. (1995). Отказоустойчивость проектирования с использованием одного и многокритериальной оптимизации генетического алгоритма. Магистерская диссертация, Массачусетский технологический институт, Кембридж.
Steuer, Р. Е. (1986). Несколько критериев оптимизации: теория, вычисления и приложения. Нью-Йорк: Wiley.
Ван Veldhuizen, Д. А.,
Виана, А.,
Zitzler, Е. (1999). Эволюционные алгоритмы для многокритериальной оптимизации: методы и приложения. Докторская диссертация, Швейцарского федерального института технологий (ETH) в Цюрихе, Швейцария.
Zitzler Е.,
В. Мэтью Карлайл [кинжал]
Исследование операций департамента флота аспирантура, Монтерей, CA 93943, адрес электронной почты: <a href="mailto:mcarlyle@nps.navy.mil"> mcarlyle@nps.navy.mil </ A>.
Джон Фаулер, Эсма С. Гель и боцман Ким
Аризонский государственный университет, кафедра "Промышленная инженерия", PO Box 855906, Темпе, AZ 85287, адрес электронной почты: bosun.kim <a href="mailto:bosun.kim@asu.edu"> asu.edu @ </>, <A HREF = "mailto: john.fowler @ asu.edu "> @ john.fowler asu.edu </ a>, <a href="mailto:esma.gel@asu.edu"> esma.gel @ asu.edu </ A>
[Кинжал] корреспондент автора.
В. Мэтью Карлайл доцент исследования операций Высшей морской школы. Он стал преподавателем в 2002 году после работы в качестве помощника профессора кафедры промышленной инженерии Университета штата Аризона. Он получил докторскую степень в исследовании операций в Стэнфордском университете в 1997 году и степень бакалавра в области информационных и компьютерных наук Georgia Tech в 1992 году. Его исследовательские интересы включают эффективные модели и решения процедур для больших задач комбинаторной оптимизации. Применение этих исследований включены моделирования и анализа флота борьбе логистики численности и структуры сил, датчик смеси и развертывания объективную силу армии блок действий, планирование кадровых ресурсов, подземных горных работах, печатные системы схема-карта собраний, а также операции для производства полупроводников.
Джон Фаулер получил ученую степень кандидата наук в области промышленного производства из Техаса
Эсма С. Гель в настоящее время доцент кафедры промышленной инженерии Университета штата Аризона. Ее научные интересы многокритериального принятия решений стохастического моделирования и управления производственных систем, а также рабочей силы ловкость. Она получила финансирование от Национального научного фонда США, Semiconductor Research Corporation и Infineon Technologies. Она закончила ее кандидат исследований, в 1999 году на кафедре "Промышленная инженерия и наука об управлении Северо-Западного университета, где она также получила степень MS в 1996 году. Она получила ее степень бакалавра в области промышленного производства из Орта Догу технический университет, Анкара, Турция. Она является членом сообщает, IIE, и ASEE.
Боцман Ким докторант в Департаменте по вопросам промышленной инженерии Университета штата Аризона. Его исследовательские интересы лежат в многокритериальных решений, эвристические алгоритмы, а также планирования производства и планирования, с применением в производстве полупроводников.
